概率论

课程编号：0701010104

课程基本情况：

1.课程名称：概率论

2.英文名称：Probability Theory

3.课程属性：专业基础课

4.学  分：4     总学时：64

5.适用专业：数学与应用数学

6.先修课程：数学分析、高等代数

7.考核形式：考试

一、本课程的性质、地位和作用

《概率论》是数学与应用数学专业的一门专业基础课，是研究随机现象统计规律性的一门课程，其理论及方法与数学其它分支相互交叉和渗透，已经成为自然科学、社会科学、经济科学、管理学科等重要的理论工具．本课程侧重于理论探讨，介绍概率论的基本概念，建立一系列定理和公式，寻求解决统计等问题的方法．通过对本课程的学习，可以使得学生初步掌握处理随机现象的基本理论和方法，培养他们解决某些相关实际问题的能力．

二、教学目的与要求

1．教学目的

通过本课程的讲授和学习，使学生获得概率论的基本知识和基本运算技能，掌握处理随机现象的方法和思维方式，同时使学生在运用数学方法分析和解决问题的能力得到进一步的培养和训练，并为学生进一步学习其他专业课程提供必要的基础．

2．教学要求

本课程在教学过程中要注意理论联系实际，从实际问题出发，通过抽象、概括，引出新的概念．概率论的求解方法主要包含在排列组合、数学分析和高等代数研究方法中，这些知识是学习概率论的重要基础，要求学生熟悉掌握．随机变量的理论是贯穿于概率论整个过程的比较完整的理论，它的意义在于把概率问题转化为函数理论，通过对它的学习，使学生在数学分析等有关理论框架下，对随机现象有更深层次的理解，有助于学生对数学理论的统一性加深理解．

三、课程教学内容及学时安排

按照教学方案安排，本课程安排在第四学期讲授，全学程共64学时，其中课内讲授48学时，习题课16学时，具体讲授内容及学时安排见下表：

《概率论》教学内容及学时分配表

四、参考教材与书目

1．参考教材

茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程（第三版）．北京：高等教育出版社，2019.

2．参考书目

[1] 魏宗舒等．概率论与数理统计教程（第三版）．北京：高等教育出版社，2020.

[2] 陈希孺．概率论与数理统计．北京：中国科学技术大学出版社，2009.

[3] 盛骤，谢式千，潘承毅．概率论与数理统计（第五版）．北京：高等教育出版社，2020.

[4] 韩旭里，谢永钦．概率论与数理统计．北京：高等教育出版社，2018.

[5] 吴赣昌．概率论与数理统计（理工类 第五版）．北京：中国人民大学出版社，2020.

五、课程目标

（一）课程具体目标

课程目标1：通过言传身教，培养学生的教育情怀；注重学生学习过程中的获得感，进而提高学习数学的兴趣；增强学生的自信心，培养学生坚忍不拔的意志品质，帮助其塑造良好的人格。[支撑毕业要求2教育情怀]

课程目标2：理解并掌握随机事件与概率、随机变量及分布、多维随机变量及分布、随机变量的数字特征、极限定理的基本概念、基本理论。本课程所学知识有助于学生加深对中学概率统计相关内容的认识和理解，提高中学数学教学能力。[支撑毕业要求3/4学科素养/教学能力]

课程目标3：掌握概率论的基本运算和思维方法，使学生的逻辑推理、数学抽象和数学运算、数学建模等学科素养得到有效提升，具备发现问题、分析问题、解决问题的能力，提高应用所学数学知识解决实际问题的能力与意识。[支撑毕业要求3学科素养]

课程目标4：引导学生总结概念与概念、概念与结论、结论与结论之间的关系，分析理论推导过程中所用的数学方法，提升学生的反思能力；鼓励学生独立思考数学问题，积极探索证明中的新思路与新方法，培养学生的创新意识，具有良好的科学态度和创新精神，能结合学科教学进行育人活动。[支撑毕业要求6/7综合育人/学会反思]

（二）课程目标与专业毕业要求的关系

（三）课程学习内容与课程目标的关系

六、教学内容安排

第 1 章  随机事件与概率(16学时)

【教学目的与要求】

1．理解随机试验、随机事件的概念，熟练掌握事件之间的关系与运算，并能熟练使用其表示复杂事件；

2．理解事件的频率与概率的概念及其关系，熟练掌握概率的古典定义、几何定义，并会计算古典概型、几何概型的概率；

3．掌握概率的性质；

4．理解条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式的意义，熟练掌握这些公式的应用；

5．理解随机事件的独立性的概念，能应用事件的独立性进行概率计算．

【教学重点】

1．随机事件的概念、事件之间的关系与运算；

2．随机事件的频率与概率之间的关系，概率的公理化定义，古典概型、几何概型的概率计算；

3．概率的性质；

4．条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式的应用；

5．会判断事件的独立性以及会利用独立性解决实际问题．

【教学难点】

1．理解概率的古典定义、几何定义，如何利用这些定义式计算概率；

2．条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式的应用；

3．会判断事件的独立性以及会利用独立性解决实际问题．

【教学方法】

理论讲授法、问题驱动法、讲练结合法．

【教学内容】

1．随机事件及其运算

随机现象，样本空间，随机事件，事件间的关系，事件运算，事件域．

2．概率的定义及其确定方法

概率的公理化定义，排列与组合公式，确定概率的频率方法、古典方法、几何方法．

3．概率的性质

概率的可加性、单调性、加法公式、连续性．

4．条件概率

条件概率的定义，乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式．

5．独立性

两个事件的独立性，多个事件的独立性，试验的独立性．

第 2 章  随机变量及其分布(18学时)

【教学目的与要求】

1．理解分布函数的概念及性质，掌握分布列与分布函数的关系并会用它们求事件的概率；理解连续型随机变量的特性及密度函数的概念，会使用密度函数求概率；

2．熟练掌握随机变量的数学期望、方差的概念及其求法；

3．掌握常见的离散分布、连续分布；

4．掌握随机变量函数的分布；

5．了解分布的其他数字特征．

【教学重点】

1．随机变量、分布函数、分布列、密度函数的定义及其性质．并会利用它们计算概率；

2．数学期望和方差的定义、性质和它们的应用；

3．常见的离散分布：(0-1)分布、二项分布、泊松分布、几何分布、超几何分布、负二项分布；

4．常见的连续分布：均匀分布、指数分布、正态分布；

5．随机变量函数的分布的求解方法．

【教学难点】

1．分布函数与分布列的关系，分布函数与密度函数的关系以及如何使用它们求解概率；

2．随机变量的期望和方差的定义及其计算；

3．如何求解随机变量函数的分布．

【教学方法】

理论讲授法、问题驱动法、讲练结合法．

【教学内容】

1．随机变量及其分布

随机变量的概念，随机变量的分布函数，离散随机变量的概率分布列，连续随机变量的概率密度函数．

2．随机变量的数学期望

数学期望的概念、定义、性质．

3．随机变量的方差与标准差

方差和标准差的定义，方差的性质，切比雪夫不等式．

4．常用离散分布

二项分布，泊松分布，超几何分布，几何分布，负二项分布．

5．常用连续分布

正态分布，均匀分布，指数分布，伽玛分布，贝塔分布．

6．随机变量函数的分布

离散随机变量函数的分布，连续随机变量函数的分布．

7．分布的其他特征数

矩、分位数、中位数．

第 3 章  多维随机变量及其分布(18学时)

【教学目的与要求】

1．理解二维随机变量的联合分布函数、联合分布列、联合密度函数、边际分布函数、边际分布列、边际密度函数的概念；会用联合分布求概率和边际分布；掌握随机变量的独立性；

2．掌握求二维随机变量函数的分布的方法；

3．熟练掌握二维随机变量数学期望、方差的性质；掌握矩、协方差、相关系数的概念及求法；

4．了解条件分布和条件期望．

【教学重点】

1．二维随机变量的联合分布函数、联合分布列、联合密度函数、边际分布函数、边际分布列、边际密度函数，会判断随机变量的独立性；

2．会利用联合分布求解边际分布和相关的概率问题；

3．多维随机变量函数的数学期望，数学期望和方差的性质，协方差，相关系数；

4．利用联合分布和边际分布求解条件分布，条件期望．

【教学难点】

1．如何利用联合分布求解边际分布；

2．计算多维随机变量的函数的分布；

3．条件分布和条件期望．

【教学方法】

理论讲授法、问题驱动法、讲练结合法．

【教学内容】

1．多维随机变量及其联合分布

多维随机变量，联合分布函数，联合分布列，联合密度函数，常用多维分布

2．边际分布与随机变量的独立性

边际分布函数，边际分布列，边际密度函数，随机变量间的独立性

3．多维随机变量函数的分布

多维离散随机变量函数的分布，最大值与最小值的分布，连续场合的卷积公式，变量变换法

4．多维随机变量的特征数

多维随机变量函数的数学期望，数学期望与方差的运算性质，协方差，相关系数，随机向量的数学期望与协方差阵

5．条件分布与条件期望

条件分布，条件期望

第4章 大数定律与中心极限定理(12学时)

【教学目的与要求】

1．理解依概率收敛、按分布收敛的定义及了解二者之间的关系；

2．理解频率的稳定性及随机变量序列平均值的稳定性，掌握伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、马尔可夫大数定律、辛钦大数定律的条件及结论；

3．理解中心极限定理的思想及意义，掌握林德伯格-莱维中心极限定理、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，会运用中心极限定理做近似计算．

【教学重点】

1．依概率收敛、按分布收敛的定义和它们之间的关系；

2．伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、马尔可夫大数定律、辛钦大数定律的含义及相互关系；

3．棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理、林德伯格-莱维中心极限定理的理论及应用．

【教学难点】

1．依概率收敛、按分布收敛的关系；

2．大数定律的应用；

3．中心极限定理的应用．

【教学方法】

理论讲授法、问题驱动法、讲练结合法．

【教学内容】

1．随机变量序列的两种收敛性

依概率收敛，按分布收敛（弱收敛）．

2．大数定律

伯努利大数定律，切比雪夫大数定律，马尔可夫大数定律，辛钦大数定律．

3．中心极限定理

林德伯格—莱维中心极限定理，棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理．

七、考核方式及成绩评定

（一）考核方式与课程目标的关系

（二）成绩评定

1. 考核方式

课程考核方式分为平时考核、期中考核和期末考核．平时考核方式包括出勤率、课堂表现、作业、笔记等；期中考核采用考卷考试的形式；期末考核采用期末闭卷考试的形式．

2. 总成绩评定

总成绩 = 平时成绩*30%  + 期中成绩*10%+ 期末成绩*60%

3. 平时成绩评定（100分）

平时成绩（100%）= 出勤（10%）+课堂表现（30%）+作业（40%）+笔记（20%）

4. 期中成绩评定（100分）

期中考试主要考查学生对随机事件与概率、随机变量及其分布章节中的基本概念、基本理论、基本方法的理解与掌握情况，以及运用相关知识分析、解决问题的能力等．

5. 期末成绩评定（100分）

期末考核主要考查学生对概率论课程中的基本概念、基本理论、基本方法的理解与掌握情况，以及运用这些知识分析、解决问题的能力等．方式为闭卷考试．