常微分方程

课程编号：0701010105

课程基本情况：

1.课程名称：常微分方程

2.英文名称：Ordinary Differential Equation

3.课程属性：专业必修课

4.学  分： 3   总学时：48

5.适用专业：数学与应用数学

6.先修课程：数学分析、高等代数、解析几何、大学物理

7.考核形式：考试

一、本课程的性质、地位和作用

常微分方程是是数学与应用数学、信息与计算科学专业的一门专业必修课，在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存在满足常微分方程关系式的数学模型，需要求解常微分方程来了解未知函数的性质．常微分方程是解决实际问题的重要工具．通过系统学习常微分方程的有关理论，可以为后继数学课程准备解决问题的方法和工具，提高数学应用能力，更是通向物理，力学，经济等学科和工程技术的桥梁．

二、教学目的与要求

1．教学目的

本课程主要目的是用微积分的思想，结合线性代数，解析几何和大学物理学的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为他们学习后继课如微分几何、泛函分析、矩阵分析和数理方程作好准备，另一方面通过这门课本身的学习和训练，使学生们学习数学建模的一些基本方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题，为他们将来从事相关领域的科学研究工作培养兴趣，做好准备．

2．教学要求

通过该课程的学习，要使学生系统地获得常微分方程的基本知识、基本理论，培养和训练学生运算技能及解决问题的能力；要求学生具有熟练的计算推导能力，逻辑推理能力，空间想象能力及综合运用所学知识分析和解决问题的能力；同时为学习后继课程奠定必要的基础．

三、课程教学内容及学时安排

按照教学方案安排，本课程安排在第4学期讲授，全学程共48学时，其中课内讲授39学时，习题课9学时，具体讲授内容及学时安排见下表：

《常微分方程》教学内容及学时分配表

四、参考教材与书目

1．参考教材

[1] 王高雄．常微分方程．北京：高等教育出版社，2020.7

2．参考书目

[1] 丁同仁．常微分方程教程．北京：高等教育出版社．2004.7

[2] 庞特里亚金．常微分方程．北京：高等教育出版社．2006.6

[3] 东北师范大学微分方程教研室．常微分方程．北京：高等教育出版社．2005.4

[4] 王鸿业．常微分方程及Maple应用．北京：科学出版社，2011.4

五、课程目标

（一）课程具体目标

课程目标1：通过本课程的学习，让学生感受数学在解决实际问题中的重要性，让学生认同教师工作的意义和专业性，具有积极的情感、端正的态度、正确的价值观，具备团队精神和合作交流意识，日后在教学一线发挥积极作用。[支撑毕业要求2、8]

课程目标2：使学生系统掌握常微分方程的基本原理和方法，提高数学思维能力，形成良好的数学思维品质；渗透数学建模的思想，培养学生利用微分方程的有关理论和方法研究并解决实际问题的能力；启迪学习智慧，提高终身学习兴趣，为今后从事数学教学工作奠定良好的基础。[支撑毕业要求3]

课程目标3：培养学生学会反思自己的思考过程、反思学习常微分方程过程中所涉及到的知识，反思利用常微分方程解决实际问题的思维过程，形成较好的教育反思能力。[支撑毕业要求7]

（二）课程目标与专业毕业要求的关系

（三）课程学习内容与课程目标的关系

 

六、教学内容安排

第1章  绪论(2学时)

【教学目的与要求】

理解如何用微分方程解决实际问题；了解积分曲线和方向场概念；掌握常微分方程和偏微分方程, 阶数, 线性和非线性, 解和隐式解，通解和特解，方程和方程组，定解条件和定解问题，驻定和非驻定，动力系统的概念．

【教学重点】

常微分方程的一般形式及其初值问题的一般形式.

【教学难点】

微分方程解的意义.

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体.

【教学内容】

常微分方程模型(用微分方程解决实际问题的基本步骤)，基本概念(常微分方程和偏微分方程、阶数、线性和非线性、解和隐式解、通解和特解、定解条件和定解问题、积分曲线和方向场、方程和方程组、驻定和非驻定、动力系统)和常微分方程的发展历史．

第2章  一阶微分方程的初等解法(13学时)

【教学目的与要求】

理解变量分离方程以及可化为变量分离方程的类型（齐次方程），熟练掌握变量分离方程的解法；理解一阶线性微分方程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努利方程的求解。理解恰当方程的类型，掌握恰当方程的解法及简单积分因子的求法。理解一阶隐式方程的可积类型，掌握隐式方程的参数解法．

【教学重点】

一阶微分方程的类型及其求解方法．

【教学难点】

一阶隐式方程与参数表示．

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体．

【教学内容】

变量分离方程的概念与解法，可化为变量分离方程的几种类型及它们的解法，几个应用举例，线性微分方程与常数变易法（一阶线性方程的概念，齐次、非齐次概念，常数变易法，伯努利方程解法），恰当微分方程与积分因子， 一阶隐式微分方程与参数表示（可以解出或的方程，不显含或的方程）．

第3章  一阶微分方程的解的存在定理(6学时)

【教学目的与要求】

1．深刻理解解的存在唯一性定理的条件与结论；

2．掌握逐步逼近方法的基本思想；

3．理解解的一般性质；

4．理解解的延拓；

5．利用逐步逼近序列进行似计算和误差估计．

【教学重点】

1．解的存在唯一性；

2．解的延拓．

【教学难点】

解的存在唯一性.

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体．

【教学内容】

解的存在唯一性定理与逐步逼近法（存在唯一性定理，近似计算和误差估计），解的延拓，解对初值的连续性和可微性定理（解关于初值的对称性，解对初值的连续依赖性，解对初值的连续依赖定理，解对初值的连续性定理，解对初值和参数的连续性定理，解对初值的可微性，解对初值的可微性定理．

第4章  高阶微分方程(15学时)

【教学目的与要求】

1．理解高阶线性微分方程解的性质和解的结构；

2．熟练掌握常系数高阶线性微分方程的解法；

3．掌握高阶微分方程的一般解法．

【教学重点】

常系数高阶线性微分方程的解法．

【教学难点】

高阶微分方程的降阶法和幂级数解法．

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体．

【教学内容】

n阶线性微分方程解的存在唯一性定理，齐次线性微分方程的解的性质与结构，非齐次线性微分方程的解的性质与结构及常数变易法，复值函数与复值解，常系数齐次线性微分方程和欧拉方程，非齐次线性微分方程比较系数法，高阶微分方程的降阶法．

第5章  线性微分方程组(12学时)

【教学目的与要求】

1．理解微分方程组解的存在唯一性定理，掌握逐步逼近法；

2．掌握线性微分方程组的基本理论和基本解矩阵的性质；

3．掌握常系数线性方程组基本解矩阵的计算，特别是expA的定义、性质和计算方法；

4．理解高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系，会将线性微分方程组的有关结论推广到高阶线性微分方程．

【教学重点】

1．线性微分方程组的基本理论和基本解矩阵的性质；

2．常系数线性方程组基本解矩阵的计算，特别是expA的定义、性质和计算方法．

【教学难点】

1．解矩阵的定义和性质；

2．常数变易法；

3．解的结构；

4．矩阵指数expA的定义及其性质；

5．基本解矩阵的计算公式．

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体．

【教学内容】

线性微分方程组解的存在唯一性定理，一阶线性微分方程组向量与矩阵的表示方法，齐次线性微分方程组解的结构，非齐次线性微分方程组解的结构和常数变易法，常系数线性微分方程组基解矩阵的求法．

 

七、考核方式及成绩评定

（一）考核方式与课程目标的关系

 

（二）成绩评定

1. 考核方式

本课程考核方式分为过程考核（平时考核、期中考核）和课终考核（期末考核），将终结性评价与形成性评价相结合。过程考核包括出勤、小组学习与汇报、课堂表现、作业、期中考试等；课终考核采用期末闭卷考试的形式。

2. 总成绩评定

总成绩=平时成绩*30%+期中成绩*10%+期末成绩*60%

3. 平时成绩评定（100分）

平时成绩（100%）= 课堂表现（50%）+ 平时作业（50%）

课堂表现包括：出勤、上课纪律及回答问题情况、小组学习与汇报等。

4. 期中成绩评定（100分）

期中考试主要考查学生对常微分方程的基本概念、一阶常微分方程的初等解法、解的存在唯一性定理相关理论等的理解与掌握情况，以及运用相关理论知识分析实际应用中的常见问题等的能力。

5. 课终成绩（期末成绩）评定（100分）

期末考试主要考察学生对常微分方程的基本概念、规律和相关理论等的理解与掌握情况，以及运用相关理论知识分析实际应用中的常见问题与现象等的能力。

近世代数

课程编号：0701010109

课程基本情况：

1.课程名称：近世代数

2.英文名称：Modern Algebra

3.课程属性：专业必修课

4.学 分：3   总学时：48

5.适用专业：数学与应用数学

6.先修课程：高等代数、解析几何、数学分析

7.考核形式：考试

一、本课程的性质、地位和作用

近世代数是大学数学类各专业的专业必修课之一，是现代数学的一个重要分支，它不仅在数学中占有重要的地位，而且在其它学科中也有广泛的应用，如理论物理、计算机学科、近代化学等科技领域．

二、教学目的与要求

1．教学目的

通过本课程的学习，使学生掌握群、环和域的基本概念和基本理论，了解代数系统的构造和性质，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，使学生学会现代数学思想、语言及方法，以利于进一步的学习．

2．教学要求

要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论及其推导过程．通过课程教学及习题训练等教学环节，使学生做到概念清晰、推理严密，对已学过的代数知识有更深刻的认识，以及对代数学的理论系统有初步地认识．

三、课程教学内容及学时安排

按照教学方案安排，本课程安排在第5学期讲授，其中课内讲授39学时，习题课9学时，具体讲授内容及学时安排见下表：

《近世代数》教学内容及学时分配表

四、参考教材与书目

1．参考教材

[1] 张禾瑞．近世代数基础．修订本．北京：高等教育出版社，2019

2．参考书目

[1] 杨子胥．近世代数．北京：高等教育出版社，2013

[2] 唐高华，邓培民等．近世代数．北京：清华大学出版社，2008

[3] 刘绍学．近世代数基础．北京：高等教育出版社，1999

[4] 张勤海．抽象代数．北京：科学出版社，2003

五、课程目标

（一）课程具体目标

课程目标1：通过本课程的学习，让学生感受数学的重要性，让学生在学习数学知识的同时培养学生严谨的科学态度。 [支撑毕业要求2]

课程目标2：使学生系统掌握近世代数的基本概念和基本理论，提高学生的抽象思维和逻辑推理能力，形成良好的数学素养；提高学生的学习兴趣，培养学生严密逻辑思维能力，为今后从事数学教学工作奠定良好的基础。[支撑毕业要求3、6]

课程目标3：通过在学习近世代数的相关内容过程中，锻炼学生的自我反思能力，并进行有效的自我学习管理，通过反思提高学习效率。[支撑毕业要求7]

（二）课程目标与专业毕业要求的关系

（三）课程学习内容与课程目标的关系

六、教学内容安排

第1章  基本概念(8学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生初步掌握并熟悉群论中的一些基本概念及基本定理．

1．理解集合的概念，了解元素与集合之间的关系，以及集合之间的运算．

2．理解映射的概念，能在集合之间建立映射，并能判断两个映射是否相同．

3．掌握代数运算与映射的关系，能建立有限集合之间的运算表．

4．掌握结合律、交换律、第一、第二分配律推广到n元的定理，并能判断给定的运算能否满足结合律、交换律以及两种分配律．

5．掌握一一映射的定义，并能建立两个集合之间的满射、单射、一一映射，能判定给定的映射是否是一一映射．

6．掌握同态映射的概念，理解同态与同态满射的关系，并能判定映射是否是同态满射，掌握具有同态满射的集合之间的联系．

7．掌握同构映射和自同构的概念，能区分同态与同构的差别，理解两个具有同构关系的集合之间的关系，能建立两个集合之间的同构映射．

8．理解关系和等价关系的概念，掌握等价关系和分类之间的转换定理，能熟练判定给定的关系是否是等价关系．并熟悉剩余类的基本特性，以便为群、环提供典型的范例，能建立整数间给定的模n的剩余类．

【教学重点】

集合及映射的概念及相关知识，笛卡尔积和代数运算的定义，等价关系的概念及其与集合的分类的关系，代数系统之间的同态(同构、自同构)．

【教学难点】

代数运算的概念，建立映射与同态映射，等价关系的概念及等价关系与分类之间的相互转换．

【教学方法】

讲授、讨论

【教学内容】

集合与映射(子集与真子集，并集、交集；单射、满射、双射、逆映射)．

2．代数运算的定义与运算律(结合律、交换律、分配律)

3．同态、同构(自同构)

4．等价关系与集合的分类(关系、等价关系、分类、全体代表团、剩余类)．

第2章  群(22学时)

【教学目的与要求】

1．理解群的定义，掌握群的等价定义，理解单位元、可逆元的意义，掌握有限群、无限群、群的阶和交换群的概念，会计算群及元素的阶．

2．掌握群的简单性质：单位元、逆元的存在性和唯一性，消去律等．

3．了解有限群的定义，并理解该定义不适用无限群的原因．

4．理解群的同态，同构的概念，掌握和一个群同态的集合也成群的证明，掌握群同态的有关性质，并能证明在同态满射下，单位元的象也是单位元，元a的逆元的象是a的象的逆．

5．理解子群的概念，掌握群的子集构成群的充分而且必要的条件与判定定理，并能掌握找出已知群的子群的一般方法，了解群与子群中的单位元与逆元的关系，以及子群与子群之间的关系．

6．理解变换群的定义，熟练掌握变换的符号的运用和变换的乘法，能证明可以成群的变换只包含一一变换，且单位元一定是恒等变换．掌握任何一个群都同一个变换群同构的定理的证明．

7．理解置换与置换群的定义与性质，掌握n次对称群S_n中元素的乘法、元素求逆等运算，掌握每一个n元置换都可以写成若干个互相没有共同数字的(不相连)的循环置换的乘积的证明与运用．理解循环置换、对换的定义，理解有限群与置换群的同构关系．

8．理解循环群的定义，熟练掌握循环群结构定理以及与循环群同态的群的性质．

9．理解子群的陪集的概念，了解子群与陪集之间的映射关系，掌握Lagrange定理及相关结论以及阶为素数的群一定为循环群的证明．

10．理解正规子群和商群的概念，能掌握一个群的子群是不变子群的充分必要条件的定理，理解商群的定义，了解商群的意义及其应用．

11．掌握群的同态基本定理，掌握两个具有同态关系的群之间子群或不变子群的象的性质．并能将子群或不变子群的性质运用到循环群、变换群等中．

【教学重点】

群的两种定义及相关概念，子群的判定，几种特殊的群，正规子群与商群，子群的陪集等，群的同态及其性质，群同态基本定理；

【教学难点】

子群的陪集定义的理解，商群及群同态基本定理．

【教学方法】

讲授、讨论．

【教学内容】

1．群的两种定义及其简单性质，有限群、无限群、交换群的概念，群的阶、元的阶的概念

2．子群的定义，子群的判定，子群的构造

3．群的同态和同构及群同态的性质

4．变换群与凯莱定理，置换的定义及其表示，置换群，n次对称群，有限群的凯莱定理，循环群的定义，循环群结构定理.

5．子群的陪集的概念，Lagrange定理

6．正规子群(不变子群)、商群的概念，群的中心、换位子群

7．群的同态基本定理

第3章  环与域(18学时)

【教学目的与要求】

1．理解加群、环的定义，熟悉环中的计算规则．理解交换环的定义，熟悉环中单位元、逆元和零因子的性质并能熟练运用．掌握消去律与零因子的关系，了解附加条件的环：交换环，有单位元的环，无零因子环．

2．掌握整环、除环、域的概念及它们之间的关系，理解除环和域的主要性质，掌握判别环是除环、域的方法．

3．掌握无零因子环的特征，熟悉无零因子环中的计算规则，掌握无零因子环中特征的性质．

4．理解子环、子除环的定义，并能写出子整环、子域的概念，掌握判别子环、子除环、子域的方法，并对环、除环的中心有一定的了解．

5．理解环同态与同构的概念，理解环同态的性质．

6．理解理想的定义，掌握有有限个元生成理想的理论，掌握主理想的元的形式，理解剩余类环及模n的剩余类环及其相关结论．

7．掌握环的同态基本定理．

8．掌握素理想和极大理想的概念及利用极大理想构造域的方法．

9．掌握构造商域的方法及商域的结构．

【教学重点】

环与域的定义及相关概念，子环的判定，理想与商环，环同态基本定理，极大理想，域的构造

【教学难点】

极大理想的定义，域的构造．

【教学方法】

讲授、讨论．

【教学内容】

1．加群、环的定义及相关概念(加群、负元、零元，环)，环的简单性质

2．交换环、有单位元的环、无零因子环的概念及相关性质

3．整环、除环和域及四元数除环

4．无零因子环的特征(特征的定义，整环、除环以及域的特征的性质)

5．子环、子除环和子域，环的同态和同构，同态环和子环的性质

6．理想(理想子环，零理想，单位理想，主理想)与剩余类环，环的同态基本定理

7．素理想与极大理想(定义及利用极大理想构造域)

8．商域及商域的计算规则

七、考核方式及成绩评定

1． 考核方式与课程目标的关系

1. 成绩评定

   （1）考核方式

   本课程考核方式分为过程考核（平时考核、期中考核）和课终考核（期末考核），将终结性评价与形成性评价相结合。过程考核包括出勤、小组学习与汇报、课程论文、作业等；课终考核采用期末闭卷考试的形式。

   （2）总成绩评定

   总成绩 = 平时成绩*30% + 期中考试*10%+ 期末成绩*60%

   （3）平时成绩评定（100分）

   平时成绩（100%）= 课堂表现（50%）+ 平时作业（50%）

   （4）期中成绩评定（100分）

   期中考试主要考查学生对群的基本概念及基本理论：集合及映射的相关知识、群的定义及性质、子群的相关知识、变换群、置换群及循环群的相关知识。

   （5）期末成绩评定（100分）

   期末考核主要考查学生对群、环及域的基本概念、基本理论的掌握．方式为闭卷考试．要求学生掌握近世代数课程中的基本概念和基本理论及相关证明方法。