《
高等代数》与《解析几何》都是历史悠久的数学分支，它们的发展可以追溯到几百年以前。
从古老的原始意义上看，代数的研究对象是数的运算、各类代数方程的求解等；几何则是研究几何图形。随着人类社会的不断进步，人们要解决的问题越来越多，思考的问题越来越多；而代数方程求解中的根本难题也困扰了数学家两百多年。
Galois
理论问世、几何变换群思想、从
Fermat
大定理的研究中产生的全新的数论思想等等，使得人们的认识发生了质的变化：我们必须站得更高，去研究各种更一般的运算结构，这就演变成了现代的具有丰富思想和技术的发展方向众多的代数学科。
欧氏几何则在欧几里得时代就形成了严格的逻辑体系。随着十六、十七世纪代数方程理论的发展，十七世纪三十年代笛卡儿和费尔马几乎同时提出了建立坐标系用数组表示几何点的思想，形成了经典的解析几何。
对最基本的线性结构和带度量的线性结构的研究，在十九世纪取得丰富成果，形成了现在称为“线性代数”的课程的基本框架；它的主要的
2
维、
3
维模型与经典的解析几何息息相关。
由于线性结构和带度量的线性结构是最基本的数学结构，到二十世纪，线性代数与解析几何成为大学各专业教育的最基础的数学课程，更是各院校数学专业的最基础的三门课程中的两门：它们是最基本的训练，也是各后续课程的必须基础。高等代数的直接的后续课程还有“近世代数”（设为必修课）、交换代数、群论、环论、域和
Galois
理论、代数编码（代数运用于通讯的应用学科）等等。
从师范教育的角度来看，高等代数与解析几何的悠久的历史和重要的地位应该使得它们对学生极具亲合力：它们以中学的几何与代数知识作为初始平台，从思想上和技术上都上升到全新的平台，这是我们的课程建设的基本思路之一；另一方面，不仅解析几何，而且代数学的近代面貌也是现代数学教师应该了解和具备的知识素养；同时，它们既是数学研究的基础思想工具也是数学研究的两个基本方向。
解析几何和线性代数的课程内涵相对而言比较成熟，目前称为“高等代数”的课程是以线性代数为主要内容加上很少量的多项式知识构成；但是内涵的外延、具体思想内容及其表达形式等却是不断推陈出新。另一方面，如上所述，这两门课程历史上思想上都可说息息相通，但在大学里，多年来是以分为两门课程分开教学为主要教学形式。近年来由于教学改革的深入和教育形势的发展，把它们融合为一门课程合并开设的思想和实践越来越多；我们在这方面也已经有了一些改革实践，要点如下。
---
实现解析几何和高等代数的思想融合：从解析几何的几何向量引导到数组向量，再引导到抽象向量；从一般二次型走到二次曲面的各种几何分类。
---
从相对具体的引例和模型建立概念框架
,
按提出基本问题、解决基本问题、应用的思路展开课程内容。
---
课程结构力求精练，内容处理力求简洁，突出主要思想技术，并着重训练基本技能和具体操作技巧。
(二)
课程概况
1
课程名称
:
高等代数
I
，高等代数
II
2
课程学时：两学期，周
6
、
5
学时，共计
187
学时。课外另有讨论课。
3
课程性质：专业基础课。
4
考核方法：
多种形式结合。平时表现
(
课堂讨论、作业、思考题
)
占
10%
，
期中考试占
20%
，期末考试
(
和小论文小答辩
)
占
70%.
5
开课学期：春季学期、秋季学期。
(
三
)
使用教材：
1.
《高等代数》
(
第三版
),
北京大学数学系编著，高等教育出版社
(
主教材
)
(
四
)
内容和进度安排
(
带星号
*
的是简单介绍性内容
)
第一部分
基
础
内
容
(
第一学期上课
)
第
1
章
多项式
1.1
数域
1.2
一元多项式
1.3
整除的概念
1.4
最大公因式
1.5
因式分解定理
1.6
重因式
1.7
多项式函数
1.8
复系数与实系数多项式的因式分解
1.9
有理系数多项式
*1.10
多元多项式
*1.11
对称多项式
习题
1 (4
次讨论课
)
第
2
章
行列式
2.1
引言
2.2
排列
2.3 n
级行列式
2.4 n
级行列式的性质
2.5
行列式的计算
2.6
行列式按一行（列）展开
2.7 克拉默法则
*2.8
拉普拉斯定理•行列式的乘法规则
习题
2 (2
次讨论课
)
第
3
章
线性方程组
3.1
消元法
3.2 n
维向量空间
3.3
线性相关性
3.4
矩阵的秩
3.5
线性方程组解有解判别定理
3.6
线性方程组解的结构
*3.7
二元高次方程组
习题
3 (2
次讨论课
)
第
4
章
矩阵
4.1
矩阵概念的一些背景
4.2
矩阵的运算
4.3
矩阵乘积的行列式与秩
4.4
矩阵的逆
4.5
矩阵的分块
4.6
初等矩阵
4.7
分块乘法的初等变换及应用举例
习题
4 (2
次讨论课
)
第二部分
深
入
内
容
(
第二学期上课
)
第
5
章
二次型
5.1
二次型及其矩阵表示
5.2
标准形
5.3
唯一性
5.4
正定二次型
习题
5 (
两次讨论课
)
第
6
章
线性空间
6.1
集合•映射
6.2
线性空间的定义与简单性质
6.3
维数•基与坐标
6.4
基变换与坐标变换
6.5
线性子空间
6.6
子空间的交与和
6.7
子空间的直和
6.8
线性空间的同构
习题
6 (
两次讨论课
)
第
7
章
线性变换
7.1
线性变换的定义
7.2
线性变换的运算
7.3
线性变换的矩阵
7.4
特征值与特征向量
7.5
对角矩阵
7.6
线性变换的值域与和
7.7
不变子空间
7.8
若尔当标准形介绍
*7.9
最小多项式
习题
7 (
讨论课
4
次
)
第三部分
选
学
内
容
(
课外阅读材料
,
不在课内讲课
,
或稍作介绍
)
*
第
8
章
λ—矩阵
8.1
λ—矩阵
8.2
λ—矩阵在初等变换下的标准形
8.3
不变因子
8.4
矩阵相似条件
8.5
初等因子
8.6
若尔当标准形的理论指导
8.7
矩阵的有理标准形
习题
8 (
讨论课
3
次
)
第
9
章
欧几里得空间与酉空间
9.1
定义与基本性质
9.2
标准正交基
9.3
同构
9.4
正交变换
9.5
子空间
9.6
实对称矩阵的标准形
9.7
向量到子空间的距离•最小二乘法
* 9.8
酉空间介绍
习题
9 (
讨论课
4
次
)
第
10
章
双线性函数与辛空间
10.1
线性函数
10.2
对偶空间
10.3
双线性函数
*10.4
辛空间
习题
10
(
五
)
课程的定位和作用
《高等代数》是数学的核心基础课程。它的理论密切联系于数学的各个领域
,
联系于科学技术的各个领域
,
构成它们的理论和方法基础
.
无论学生要学任何后续理工科课程
,
也无论学生未来从事数学、科学的理论研究
,
或者未来从事实际技术工程工作
,
《高等代数》的基础都是至关重要的
.
按照著名的布尔巴基
(N. Bourbaki)
学派的
“数学结构主义”
,
全部数学基于三种
“母结构”
:
代数结构、顺序结构、拓扑结构
.
它们相互组合分化
,
构筑起数学巨厦
.
其中代数结构尤其在数学的现代化中起到决定作用
.
与代数密切关联的现代数学学科有
:
代数数论
,
代数几何
,
算术代数几何
,
代数拓扑
,
代数表示论
,
代数
K-
理论
,
泛函分析
,
模形式
(
自守函数论
), lie
群与
lie
代数
,
同调代数
,
拓扑代数
,
范畴理论
,
格论
,
代数编码
,
等等
.
此外如统计理论等等
,
尤其大量应用线性代数和矩阵理论
.
代数学处理的是
“结构”
,
其意义有如下论述
.
数学大师赛尔伯格
(A. Selberg)
指出
,
“今天的数学主要关心的是结构以及结构之间的关系
,
而不是数之间的关系
.
这种情况最初发生在
1800
年左右
,
首次的突破是抽象群概念的引入
,
目前它在数学领域中无所不在
.
”
法国大数学家嘉当
(H. Cartan)
指出
:
“我们目睹了代数在数学中名副其实的到处渗透”
,
“日益清楚的意识到代数概念在数学的几乎所有分支中所起的作用”
,
“随着目前数学的这种代数化
,
任何研究人员再也不能无视近世代数这一必不可少的工具了”
.
(
六
)
课程的指导教育理念
1.
以现代科学
(
数学
)
的视角和精神
,
阐释基础课程
.
◇适当介绍现代科学的知识
,
重要的理论、成果、概念、方法
,
扩展延拓传统的内容
,
与现代科学
(
技术和应用
)
建立联系
.
◇以现代视角和精神审视传统内容
,
改革内容体系
,
整合优化新的模块和脉络
.
◇适当运用现代数学和应用中
(
或当前国际常用
)
的理念思想、语言概念
,
名词符号
.
2.
辨证科学地处理课程和教学中的各种关系
.
◇由浅入深
,
由具体到抽象
,
由低级到高级
,
符合人的认识规律
.
代数学的高度抽象性
,
不同于其它任何学科
.
这常给学习者带来很多困难
.
国外大学界有格广为传扬的说法
:
“学代数是一场灾难
,
教代数也是一场灾难
.
”因此代数课的教学必须力求符合人的认识规律
,
由浅入深
,
由具体到抽象
,
逐步认识掌握熟悉抽象
,
最后在思维中建立理论的具体
.
◇基础为本
,
高层开拓
.
既需要深厚的基础
,
而且有一定的磨练过程
,
又不能局限于底层
.
既需要以开拓心态学习高层理论
,
又要立于实地
.
辨证统一
,
不相割裂
,
基础与前沿贯通
.
◇
理论的理解和解题能力的辨证统一
.
细节与整体的辨证统一
.
教学始于细节
,
基于细节
,
但不被细节局限
.
一般寓于特殊之中
.
◇
矩阵坐标方法和映射变换理论的辩证统一
.
3.
人文关怀寓于知识传授
,
精神力量引导新一代成长
◇
教育的最终目的是育人
.
教育要超越单纯的知识传授
,
要超脱简单的技术细节
.
要避免简单的功利主义
.
要有精神
,
要有理想
,
要有高远的视野
.
教师不能刻板的局限于教学大纲
,
学生不能怯懦的臣服于分数面前
.
要避免狭隘、匠气
,
要面向世界
,
面向未来
.
◇
教知识
,
也要关心人生理想
.
教数学
,
也要在意志向物理和信息
.
教基础
,
也要联系高层前沿国际大师
.
◇
“爱”贯穿于教育始终
.
爱学生
,
爱教学
,
爱数学
,
爱国家
.
爱学生
,
学生才能健康成长
,
才能有自信
,
自强
,
大志向
,
才能有出息
.
那些为了讲授一个问题
,
而打压学生的自信
(
甚至羞辱了学生的自尊
)
的做法
,
无异于“给了他一碗红豆汤
,
而剥夺了他的太子继承权”
.
◇
华罗庚提出“人梯精神”
,
要一代托举一代
,
象搭人梯一样
,
把青年人推上去
.
教师正是要这样做
.
◇
“大志是成功的基因
;
自信是成功的钥匙
;
勤奋是成功的度量”
.
◇
尊重个性
.
共性寓于个性之中
.
教学风格有个性
.
理解学生的个性
.
(
七
)
内容体系的优化与充实
1.
调整优化《高等代数》课程的模块新体系
,
基础
-
前沿贯通
◇
引入新的教学内容
,
介绍了
(
适当消化引入了
)
数学的最新发展成果
,
加大了知识信息量
.
特别如
,
选学部分
,
介绍了辛几何与正交几何
,Hilbert
空间
,
张量积与外积
.
其他章节在适当地方
,
介绍了群表示论的萌芽
,
变换族
,
模及其分解
,
对偶概念
,
商空间和商环概念
,
结式和消去法
,
判别式
,
等等
.
也介绍了空间各种分解
,
矩阵函数
,
代数编码等
.
这些介绍的内容之中
,
有的是前沿的重要内容
(
如变换族在费尔马大定理证明中
,
模形式理论中
),
有的是多领域需要的重要内容
(
如模的概念
,
张量积与外积
),
有的是原来的基础内容的自然的稍稍的拓展
,
都基于基本内容而且相互建立起密切联系
.
◇调整了传统内容及其发展脉络
.
最为鲜明的特点
,
就是一改过去半个多世纪的因袭
(
有不少是前苏联原来的内容
,
文革以后又把旧内容翻出来的
),
而改用新视角
,
即现代科学的视角
,
适应科学的新发展
,
适应新时代的社会要求
.
由对称多项式引至判别式
(
和结式
),
由线性方程组引至行向量
(
和消去法
)
，由矩阵引至变换，由变换的矩阵引至线性表示
(
介绍
,
选读
)
，由空间分解引至模及其分解
(
介绍
),
都是具体和抽象贯通、基础与现代贯通的例子
.
2.
前沿性、时代性
--
新的平台
,
新的理念
,
新的概念
,
语言
,
和符号
◇
基域的选取
,
一改对实数域的因袭
,
全部基于一般的域
,
特别可以是二元域
,
这是电子计算机、信息和编码等的基域
,
也与理论前沿衔接
.
◇适当使用“群环域”的名词和概念
,
不仅对众多内容提纲挈领
,
也在应用中不断加深
,
为进一步理论打开了大门
.
采用国际通用符号等
.
◇数与多项式为第一章
,
讲解透彻，由具体范例
,
引发到熟悉代数的抽象概念
.
3.
在经典内容的阐释方面
,
有许多新的发展
,
新的讲法
,
新的思路
,
和新的证明方法
.
4.
大量的各种层次的例题、习题
.
(
八
)
改革教学方法
,
方式
1.
用先进的视角和精神统领基础课教学
.
2.
以积极的态度
,
辨证地处理课程中的矛盾关系
3.
教书育人
,
“爱”的教育贯穿始终。
爱学生
,
爱教学
,
爱数学
,
爱国家
.
建立学生的自信
,
自强
,
大志
.
实践华罗庚提
出的“人梯精神”
,
一代托举一代
,
把青年人推上去
.
“大志是成功的基因
;
自信是成功的钥匙
;
勤奋是成功的度量”
.
因材施教
,
尊重个性
.
教学要有个性
.
要理解学生的个性
.
4.
课堂上互动交流
.
5.
课外阅读材料
.
6.
布置课外思考题
.
7.
讨论课
,
师生共同解决问题
.
8.
考试改革
:
小论文
,
小答辩
,
多结合
.
9.
教学资料上网
.
10.
重要的适合的内容
,
做成了多媒体“课件”
.
