课程编号：0712020215
课程基本情况：
1．课程名称：数值分析
2．英文名称：Numerical Analysis
3．课程属性：专业选修课
4．学 分： 3 总学时：51
5．适用专业：应用统计学
6．先修课程：数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程
7．考核形式：考查
一、本课程的性质、地位和作用
《数值分析》是数学类专业(如应用统计学)的专业选修课．随着计算机技术的发展和科学技术的进步，科学与工程计算( 简称科学计算)的应用范围已扩大到许多的学科领域，已经形成了一些边缘学科．例如计算物理、计算力学、计算化学等．目前实验、理论和计算已经成为了人们进行科学活动的三大方法．因此，学习和掌握《数值分析》(即《计算方法》)是非常必要的．
《数值分析》是数学的一个分支，但它又不象纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结合，着重研究数学问题的数值方法及其理论．由于《数值分析》课程与计算机的密切关系及该课程的特殊性，该课程的建设不仅使数学类专业学生受益，还可使学校理科专业学生受益．
二、教学目的与要求
1．教学目的
通过本课程的讲授和学习，使学生了解和掌握数值计算方法及相关的数学理论；会将最基本、最常用的数值计算方法变为程序．
2．教学要求
本课程的教学应重视数值分析的基础知识与技能，为以后进一步从事科学计算方面的学习、研究和应用打下基础．要求学生牢固掌握基本概念、基本理论和方法建立的原理、掌握科学与工程计算中常用计算方法的构造及误差分析，讨论方法的稳定性、复杂性等，并借助于程序设计语言或数学软件等将算法设计与计算机的实现紧密相结合，提高在计算机上解题的技巧与能力．
三、课程教学内容及学时安排
按照教学方案安排，本课程安排在第5学期讲授，全学程共51学时，其中课内讲授32学时，习题课7学时，实验课12学时．具体讲授内容及学时安排见下表：
《数值分析》教学内容及学时分配表
章 |
标题 |
学时数 |
课内讲授 |
习题 |
实验 |
备注 |
1 |
数值计算的基本概念 |
5 |
3 |
1 |
1 |
|
2 |
解线性方程组的迭代法 |
7 |
4 |
1 |
2 |
|
3 |
解线性方程组的直接法 |
8 |
5 |
1 |
2 |
|
4 |
插值法与最小二乘拟合 |
9 |
6 |
1 |
2 |
|
5 |
数值积分和数值微分 |
8 |
5 |
1 |
2 |
|
6 |
常微分方程的数值解法 |
9 |
6 |
1 |
2 |
|
7 |
非线性方程迭代解法 |
5 |
3 |
1 |
1 |
|
合计 |
51 |
32 |
7 |
12 |
|
四、参考教材与书目
1．参考教材
马昌凤，林伟川．现代数值计算方法．北京：科学出版社，2015
2．参考书目
[1] 李庆扬等．数值分析．北京：清华大学出版社，2008
[2] 薛毅．数值分析与实验．北京：北京工业大学出版社，2007
第1章 数值计算的基本概念(5学时)
【教学目的与要求】
通过本章的教学使学生初步使学生初步了解数值算法的研究对象和特点，理解误差的种类和概念，掌握有效数字的求法，会求相对误差和绝对误差，对数据误差引起的病态问题能正确看待，并会对其进行判断．
1．掌握数值算法的研究对象和特点；
2．了解误差限、相对误差、绝对误差、截断误差、舍入误差的概念，会求有效数字；
3．数值算法设计的注意事项．
【教学重点】
相对误差，绝对误差，有效数字、截断误差、舍入误差．
【教学难点】
有效数字，截断误差．
【教学方法】
讲授、讨论，多媒体．
【教学内容】
数值算法的研究对象
数值算法的研究对象和特点．
2．误差分析的概念
误差限、相对误差、绝对误差、截断误差、舍入误差的概念，数值稳定性，数据误差和病态问题．
3．数值算法设计的注意事项
数值算法评价的基本原则和注意事项．
【教学建议】
简单介绍数值算法的研究对象和特点，重点介绍误差限、相对误差、绝对误差、截断误差、舍入误差的概念，数值稳定性，数据误差和病态问题，最后说明数值算法评价的基本原则和注意事项．
第2章 解线性方程组的迭代法(7学时)
【教学目的与要求】
通过本章的教学使学生初步使学生初步了解迭代法的一般理论，掌握雅克比迭代法、高斯赛德尔迭代法和逐次超松弛迭代法．
1．迭代法的一般理论；
2．雅克比迭代法及其通用程序；
3．高斯赛德尔迭代法及其通用程序；
4．逐次超松弛迭代法及其通用程序；
【教学重点】
雅克比迭代法、高斯赛德尔迭代法．
【教学难点】
迭代法的收敛定理．
【教学方法】
讲授、讨论，多媒体．
【教学内容】
1．迭代法的一般理论
向量范数和矩阵范数，迭代格式的构造，迭代的收敛性．
2．雅克比迭代法
雅克比迭代公式及及其通用程序，收敛性分析．
3．高斯赛德尔迭代法
高斯赛德尔迭代法及及其通用程序，收敛性分析．
4．逐次超松弛迭代法
逐次超松弛迭代法及及其通用程序，收敛性分析．
【教学建议】
重点介绍如何判断迭代格式收敛．考试题可能是给出某种迭代格式，如何判断是否收敛；给出矩阵(带有参数)两种迭代格式的收敛区域是什么．这种题可以是计算题也可以是填空题．对角占优矩阵判断收敛性很容易，要求学生记住．
第3章 解线性方程组的直接法(8学时)
【教学目的与要求】
通过这一章的学习，要求学生：
1．掌握用顺序Gauss消去法求解方程组及其通用程序；
2．掌握用列主元Gauss消去法求解方程组及其通用程序；
3．解三对角方程组的追赶法；
4．用LU分解法解线性方程组及其通用程序；
5．解对称正定方程组的Cholesky分解法．
【教学重点】
列主元Gauss消去法，LU分解法．
【教学难点】
解对称正定方程组的Cholesky分解法．
【教学方法】
讲授、讨论，多媒体．
【教学内容】
1．掌握用顺序Gauss消去法求解方程组及其通用程序
2．掌握用列主元Gauss消去法求解方程组及其通用程序
3．解三对角方程组的追赶法
4．用LU分解法解线性方程组及其通用程序
5．解对称正定方程组的Cholesky分解法
【教学建议】
本章要求学生会用列主元消去法求解方程组，会作用LU分解法解线性方程组．追赶法不要求，可以不讲．要求掌握平方根法，即Cholesky分解．正定矩阵的性质只作为复习，不会作为考试内容．平方根法的考试题可能是作Cholesky分解，或者一个矩阵能作平方根法的条件等．改进平方根法讲，但不作为考试内容(可以根据自己的学时掌握)．
第4章 插值法与最小二乘拟合(9学时)
【教学目的与要求】
1．深刻理解Lagrange插值多项式，熟练掌握Lagrange插值公式的计算，插值余项；
2．深刻理解差商及其性质，熟练掌握Newton基本插值公式；
3．了解高阶插值的Rung现象，熟练掌握三阶样条插值及其通用程序；
4．了解最小二乘法，掌握正交二乘拟合以及多项式拟合的通用程序；
【教学重点】
Lagrange插值公式的计算，Newton基本插值公式，正交二乘拟合以及多项式拟合的通用程序．
【教学难点】
三阶样条插值及其通用程序．
【教学方法】
讲授、讨论，多媒体．
【教学内容】
1．多项式插值
Lagrange插值多项式，Lagrange插值公式的计算，插值余项．
牛顿插值法
差商及其性质，Newton基本插值公式．
样条插值法
高阶插值的Rung现象，三阶样条插值及其通用程序．
最小二乘拟合
最小二乘法，正交二乘拟合，多项式拟合的通用程序．
【教学建议】
简单介绍等距节点的Newton插值公式，重点介绍Lagrange插值多项式，Newton基本插值公式，Hermite插值的思想，并不用具体计算．会估计插值余项．学会用差分计算恒等式．只作简单介绍，不作为考试题要求．
第5章 数值积分和数值微分(8学时)
【教学目的与要求】
1．深刻理解插值型求积公式，掌握其算法；
2．了解梯形公式及其误差，辛普森公式及其误差，科茨公式及其误差，并掌握公式的算法；
3．了解复化梯形公式及复化辛普森公式，掌握其通用程序；
4．理解龙贝格求积公式的算法推导，掌握其通用程序；
5．理解高斯型求积公式的算法原理，掌握其通用程序；
6．了解差商法，掌握插值型求导公式．
【教学重点】
插值型求积公式，龙贝格求积公式，高斯型求积公式，插值型求导公式．
【教学难点】
龙贝格求积公式，高斯型求积公式．
【教学方法】
讲授、讨论，多媒体．
【教学内容】
1．插值型求积公式
插值型求积公式，及其算法．
2．几个常用的求积公式
梯形公式及其误差，辛普森公式及其误差，科茨公式及其误差，以及公式的算法．
3．复化求积公式
了解复化梯形公式及其通用程序，复化辛普森公式及其通用程序．
4．龙贝格求积公式
龙贝格求积公式的算法推导，及其通用程序．
5．高斯型求积公式
高斯型求积公式的算法原理，及其通用程序．
6．数值微分法
差商法，插值型求导公式．
【教学建议】
本章的重点是这些问题的基本概念．会计算代数精确度(出考试题，如何计算某求积公式的代数精确度)．课上详细推导梯形求积公式和Simpson求积公式，其他公式不用推导．从计算稳定性问题出发，引出高阶公式不好的概念(只要讲清理念就行，这里不会有习题)，所以需要复化公式．会用复化梯形公式和复化Simpson公式计算积分(出考题)，Romberg(龙贝格)求积公式是求积公式中最有效的公式，所以一定要介绍．Richardson(理查森)外推加速法不作为要求，只要让学生知道，Romberg(龙贝格)求积公式的合理性即可．会用复化梯形公式和复化Simpson公式余项来估计复化的次数(出考题)．
第6章 常微分方程的数值解法(9学时)
【教学目的与要求】
1．了解Euler方法，这里有显式格式和隐式格式，掌握改进的Euler格式及通用程序；
2．了解Runge--Kutta(龙格--库塔)方法的基本思想，掌握Runge--Kutta(龙格--库塔)格式及通用程序；
3．理解并掌握收敛性及稳定性的分析；
4．理解Adams外推公式和Adams内插公式，掌握四阶Adams格式及通用程序；
5．理解并掌握一阶和高阶常微分方程组的形式和解法；
【教学重点】
改进的Euler格式及通用程序，Runge--Kutta(龙格--库塔)格式及通用程序，四阶Adams格式及通用程序，一阶和高阶常微分方程组的形式和解法．
【教学难点】
Runge--Kutta(龙格--库塔)格式及通用程序，四阶Adams格式及通用程序．
【教学方法】
讲授、讨论，多媒体．
【教学内容】
Euler方法及其改进
Euler方法(显式格式和隐式格式)，改进的Euler格式及通用程序．
Runge--Kutta(龙格--库塔)格式
Runge--Kutta(龙格--库塔)方法的基本思想，Runge--Kutta(龙格--库塔)格式及通用程序．
收敛性及稳定性
收敛性及稳定性的分析．
Adams格式
Adams外推公式和Adams内插公式，四阶Adams格式及通用程序．
一阶微分方程组和高阶微分方程
一阶常微分方程组，高阶常微分方程．
【教学建议】
本章的重点是Runge--Kutta(龙格--库塔)方法的基本思想，会用四阶Runge--Kutta法计算微分方程．变步长的Runge--Kutta法可能不讲．收敛性和稳定性也是本章的重要概念．会计算某些计算公式的稳定区间，或判断是否为无条件稳定的．会讨论上述算法(显式、隐式)的优缺点(主要从收敛性和稳定性方面考虑)，这里会出填空题或计算题．多步方法只作简单介绍即可．会用公式计算即可，不必作过多的介绍．
第7章 非线性方程迭代解法(5学时)
【教学目的与要求】
1．了解二分法基本概念和定理，理解误差估计与收敛性分析，掌握二分法及其程序实现；
2．了解迭代法的基本思想分，理解误差估计与收敛性分析，掌握迭代法的加速技巧；
3．了解Newton法的基本思想与算法，理解Newton法的几何意义和收敛速度，掌握牛顿法的程序实现．
【教学重点】
二分法及其程序实现，Newton法的几何意义，牛顿法的程序实现．
【教学难点】
Newton法的几何意义．
【教学方法】
讲授、讨论，多媒体．
【教学内容】
1．根的搜索与二分法
二分法基本概念和定理，误差估计与收敛性分析，二分法及其程序实现．
2．简单迭代法及其加速技巧
迭代法的基本思想，误差估计与收敛性分析，迭代法的加速技巧．
3．Newton型方法
Newton法的基本思想与算法，Newton法的几何意义和收敛速度，牛顿法的程序实现．
【教学建议】
本章的重点是二分法的基本思想、误差估计，以及算法的优缺点．让学生掌握如何判定非线性方程组在区间内有根；如何计算迭代次数；二分法是局部收敛还是大范围收敛的．迭代法的基本思想和几何解释考试题可能会涉及到如何选择迭代格式使迭代收敛，给出某种迭代格式，如何判断它的收敛阶．迭代加速只简单介绍即可，不会出考试题的．要求学生用Newton法导出某种计算公式(如在没有开方运算的情况下，如何计算一个数的开方)．给出某种迭代格式是二阶的，还是一阶的(填空题)．
执笔人：董建新 审定人：张安玲
