统计专业《数学分析Ⅰ、Ⅱ》课程教学大纲

发布人：数学系 发布日期：2019-09-16

课程编号：0712020101

课程基本情况：

1．课程名称：数学分析Ⅰ、Ⅱ

2．英文名称：Mathematical AnalysisⅠ、Ⅱ

3．课程属性：专业基础课

4．学　　分：13   总学时：227

5．适用专业：应用统计学

6．先修课程：

7．考核形式：考试/考查

一、本课程的性质、地位和作用

课程性质：数学分析是应用统计学专业学生重要的专业基础课。

课程的地位和意义：数学分析是数学专业的一门基础课程，她直接影响后续课程的学习。通过本课程的教学使学生掌握数学分析最基本的知识和严格的逻辑思维能力与推理论证能力以及熟练的计算能力；这不但能使学生较熟练解决实际中的一些问题，而且为后期课程的学习奠定坚实的基础。

二、教学目的与要求

通过系统的学习与严格的训练，使学生对极限思想和方法有较深入的认识，对具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系有一定的了解，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并且用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。

三、课程教学内容及学时安排

按照教学方案安排，本课程安排在第1，2学期讲授，全学程共227学时，其中课内讲授180学时，习题课47学时，具体讲授内容及学时安排见下表：

《数学分析Ⅰ、Ⅱ》教学内容及学时分配表

章

内容

学时数

讲授

习题课

备注

1

实数集与函数

6

4

2

2

数列极限

12

10

2

3

函数极限

12

10

2

4

函数的连续性

10

8

2

5

导数和微分

12

10

2

6

微分中值定理及其应用

14

12

2

7

不定积分

14

10

4

8

定积分

16

12

4

9

定积分的应用

14

10

4

10

反常积分

12

10

2

11

数项级数

10

8

2

12

函数列和函数项级数

15

12

3

13

幂级数

8

6

2

14

多元函数的极限与连续

10

8

2

15

多元函数微分学

14

12

2

16

隐函数定理及其应用

14

12

2

17

曲线积分

8

6

2

18

重积分

16

12

4

19

曲面积分

10

8

2

合计

227

180

47

四、参考教材与书目

1.参考教材

华东师范大学数学系.数学分析(上，下).第四版.北京：高等教育出版社，2010

2.参考书目

      1. 陈纪修，於崇华，金路.数学分析(上).北京：高等教育出版社，1999.9

      2. 陈纪修，於崇华，金路.数学分析(下).北京：高等教育出版社，2000.4

      3. 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法．北京：高等教育出版社，2006.4

      4. 钱吉林．数学分析题解精粹．武汉：崇文书局，2009.9

第1章  实数集与函数(6学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生熟练掌握实数的基本性质和确界原理，建立实数集确界清晰概念；使学生深刻理解函数的概念，熟练掌握与函数性态有关的一些常见术语。

【教学重点】

实数集、确界、函数的概念及其有关性质

【教学难点】

确界的定义及其应用

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

  1. 实数

实数及其性质，绝对值与不等式。

  1. 数集、确界原理

    区间与邻域，有界集，确界原理。

  2. 函数概念

    函数的定义，函数的表示，函数的四则运算，复合函数，反函数，初等函数。

  3. 具有某些特性的函数

    有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数。

【教学建议】

  1. 理解实数的有序性、稠密性与封闭性，掌握邻域的概念；

  2. 牢记绝对值的有关性质；

  3. 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题证明中正确地加以运用；

  4. 深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数、有界函数、单调函数和周期函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；

  5. 掌握函数的四则运算，牢记基本初等函数的定义、性质及其图象，会求初等函数的定义域，会分析初等函数的复合关系。

第2章  数列极限(12学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生建立起数列极限的准确概念，熟悉收敛数列的性质；使学生正确理解数列收敛的判别法以及求解收敛数列极限的常用方法，会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。

【教学重点】

数列极限的概念

【教学难点】

数列极限的定义及其应用

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

  1. 数列极限的概念

数列极限，无穷小数列。

  1. 收敛数列的性质

    收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保不等式性、迫敛性以及四则运算法则。

  2. 数列极限存在的条件

    单调数列，单调有界定理、柯西收敛准则。

【教学建议】

  1. 使学生建立起数列极限的清晰概念，深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小数列等概念，会应用数列极限的定义证明数列中有关命题，并能运用语言正确表述数列不以某定数为极限等相应陈述；

  2. 使学生理解并能证明收敛数列的性质、极限的唯一性、有界性、保号性及不等式性；

  3. 掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理以及单调有界定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限；

  4. 初步理解柯西准则在极限理论中的意义，并逐步学会应用柯西准则判断某些数列的敛散性；

  5. 通过例题和练习题加以归纳，使得判定数列收敛性以及求收敛数列极限的方法趋于系统化。

第3章  函数极限(12学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质；理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性；掌握两个重要极限

和，并能熟练运用；理解无穷小(大)量及其阶的概念，会利用它们

求某些函数的极限。

【教学重点】

函数极限的概念、性质及其计算

【教学难点】

柯西准则和海涅定理的运用

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

  1. 函数极限概念

时函数的极限、时函数的极限。

  1. 函数极限的性质

    函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性、迫敛性以及四则运算法则。

  2. 函数极限存在的条件

    归结原则(海涅定理)和柯西准则。

  3. 重要的极限

    两个重要极限和。

  4. 无穷小量与无穷大量

    无穷小量、无穷小量阶的比较，无穷大量、曲线的渐近线。

【教学建议】

  1. 准确地建立起函数极限(包括单侧极限)的概念，深刻理解函数极限的或定义，明了其几何意义，并能给出函数不以某定数为极限的相应陈述，能运用函数极限的定义证明与函数有关的命题；

  2. 掌握函数极限的基本性质；掌握海涅定理和柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路和方法；

  3. 掌握两个重要极限和，掌握证明的基本思路和方法，并能灵活应用；

  4. 掌握无穷小(大)量及其阶的概念。

第4章  函数的连续性(10学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念；熟悉连续函数的性质并能灵活运用；知道所有初等函数都是在其定义区间上的连续函数，并能加以证明。

【教学重点】

函数连续性的概念和闭区间上连续函数的性质

【教学难点】

连续性的应用

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

  1. 连续性概念

函数在一点的连续性，间断点及其分类，区间上的连续函数。

  1. 连续函数的性质

    连续函数的局部性质，区间上连续函数的基本性质，反函数的连续性质。

  2. 初等函数的连续性

    指数函数的连续性，初等函数的连续性。

【教学建议】

  1. 使学生深刻理解函数在一点上连续(包括单侧连续)的定义，并能熟练写出函数在一点连续的各种等价叙述；

  2. 应使学生从分析导致函数在一点不连续所可能的因素出发，理解函数在一点间断以及函数间断的概念，从而加深对函数在一点连续这一概念的理解，并能熟练准确地识别不同类型的间断点；

  3. 明确函数在区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的，使学生清楚区分连续函数与函数连续所表述的不同内涵；

  4. 掌握函数的局部性质，连续函数的有理运算性质，并能加以证明；熟知复合函数的连续性和反函数的连续性，能够在各种问题的讨论中运用连续函数的这些重要性质；

  5. 深刻理解初等函数在其定义区间上都是连续的，并能应用连续性的概念以及连续函数的性质加以证明，能熟练运用这一结论求初等函数的极限；

  6. 掌握区间上连续函数的重要性质，理解其几何意义，并能在各种有关的具体问题中加以运用。

第5章  导数和微分(12学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生准确掌握导数与微分的概念，明确其物理、几何意义，能从定义出发求出一些简单函数的导数与微分；弄清楚函数可导与可微之间的一致性及其相互联系，熟悉导数与微分的运算性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式与微分公式，并熟练地进行初等函数的微分运算；能利用导数与微分的意义解决某些实际应用的计算问题。

【教学重点】

导数与微分的概念及其计算

【教学难点】

求复合函数的导数

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

  1. 导数概念

  2. 求导法则

    导数的四则运算、反函数的导数、复合函数的导数、基本初等函数导数公式。

  3. 参变量函数的导数

  4. 高阶导数

  5. 微分

    微分的概念、微分的运算法则、高阶微分。

【教学建议】

深刻理解导数概念，能够准确表述其定义，明确其实际背景并给出物理、几何解释，能够从定义出发求某些函数的导数，知道导数与导函数的相互联系与区别，明确导数与单侧导数、可导与连续的关系。能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用问题，会求曲线一点出发的切线方程。

  1. 熟练地掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导法则，会求由参数方程所给出的函数的导数以及反函数的导数，并在熟记基本初等函数导数公式的基础上综合运用这些法则与方法熟练准确地求出初等函数的导数；

  2. 清楚地理解函数在一点的微分的定义，并给出几何解释，能从定义出发求某些简单函数的微分，能熟练运用基本微分表和微分运算公式求初等函数的微分；

  3. 明确函数在一点可导与在一点可微之间的一致性，并会利用导数求微分、利用微分求导数，会应用微分的实际意义计算某些问题；

  4. 掌握高阶导数与高阶微分的定义，会求高阶导数与高阶微分．能正确理解和运用一阶微分形式的不变性，并与高阶微分清楚地加以区分。

第6章  微分中值定理及其应用(14学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的基础；熟练掌握洛必达法则，会正确应用它求某些不定式的极限；掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题．使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象；会求函数的最大、最小值。

【教学重点】

中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数的单调性、极限、与凹凸性

【教学难点】

用辅助函数解决问题的方法

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

  1. 拉格朗日中值定理和函数的单调性

  2. 柯西中值定理和不定式极限

  3. 泰勒公式

  4. 函数的极值与最大(小)值

  5. 凸性与拐点

  6. 函数图象的讨论

【教学建议】

  1. 深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个中值定理的证明方法，知道三者之间的包含关系；

  2. 具有应用中值定理进行分析论证的能力，能用以证明某些有关的命题，特别是掌握通过构造辅助函数解决问题的方法；

  3. 熟练掌握洛必达法则，并能正确应用它迅速准确地求某些不定式的极限；

  4. 会求函数的最大、最小值；

  5. 深刻理解泰勒定理，掌握泰勒公式，熟悉两种不同余项的泰勒公式及其之间的差异；

  6. 掌握并熟记一些常用初等函数的泰勒展开式；

  7. 会用带有皮亚诺型余项的泰勒公式求某些函数的极限；

  8. 深刻理解函数在一区间上的单调以及严格单调的意义和条件；熟练掌握运用导数判定函数单调性与单调区间的方法；能利用函数的单调性证明某些不等式；

  9. 弄清楚函数极值的概念，取得极值的必要条件以及第一、第二充分条件；掌握求函数极值的一般方法与步骤；能灵活应用第一、第二充分条件判定函数的极值点与极值；会利用极值确定函数的最大、最小值；对于取得极值的第三充分条件，也有基本的了解；

  10. 弄清函数凹凸性的概念，掌握函数凹凸性的几个等价论断，会求函数的拐点，能应用函数的凹凸性证明某些有关的命题；

  11. 掌握求曲线各种类型渐近线的方法；

  12. 掌握描绘函数图象的一般方法和步骤，能够把握曲线的各种重要特征，熟练、正确地描绘函数的图象。

第7章  不定积分(14学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生明确认识和理解积分是微分的逆运算，深刻理解不定积分的概念，记住不定积分与原函数的的关系；在掌握基本积分表的基础上熟练掌握不定积分的计算方法。

【教学重点】

不定积分的基本概念与计算

【教学难点】

不定积分的换元积分法和分部积分法

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

  1. 不定积分的基本概念与基本积分公式

原函数与不定积分、基本积分表。

  1. 换元积分法与分部积分法

    第一类换元积分法、第二类换元积分法、分部积分法。

  2. 有理函数和可化为有理函数的不定积分

    有理函数的不定积分、三角函数有理式的不定积分、某些无理根式的不定积分。

【教学建议】

  1. 理解积分与微分的互逆关系，理解并掌握原函数与不定积分的关系及其几何意义；

  2. 掌握不定积分的线性运算法则，能熟练运用基本积分表中的公式；

  3. 熟练掌握换元积分法、分部积分法，并能解决求积问题；

  4. 了解特殊类型的初等函数的不定积分，如有理函数的不定积分、三角函数有理式的不定积分以及某些无理根式的不定积分。

第8章  定积分(16学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生理解定积分的概念、定义，熟悉可积条件；掌握定积分的性质和微积分学基本定理、并会运用换元积分法、分部积分法计算有关的定积分。

【教学重点】

定积分的基本概念、性质、微积分学基本定理以及牛顿---莱布尼兹公式

【教学难点】

可积条件

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

  1. 定积分的概念

  2. 牛顿---莱布尼兹公式

  3. 可积条件

    可积的必要条件、可积的充要条件、可积函数类。

  4. 定积分的性质

    定积分的基本性质、积分中值定理。

  5. 微积分学基本定理·定积分计算(续)

    变限积分与原函数的存在性、换元积分法与分部积分法、泰勒公式的积分型余项。

【教学建议】

  1. 理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题；

  2. 搞清可积的必要条件，掌握可积的充要条件及可积函数类；

  3. 理解定积分的性质；

  4. 理解、掌握微积分学基本定理，熟练地应用牛顿---莱布尼兹公式；

  5. 熟练地掌握换元积分法、分部积分法并能解决计算问题。

第9章  定积分的应用(14学时)

【教学目的与要求】

本章教学的目的与要求是使学生在理解定积分的基础上掌握平面图形的面积计算方法；理解并掌握由截面面积函数求立体体积的计算方法；理解并掌握曲线弧长的计算方法；理解并掌握用微元法求旋转曲面面积的方法；了解定积分在物理中的某些应用。

【教学重点】

平面图形的面积

【教学难点】

旋转体的体积

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

  1. 平面图形的面积

  2. 由平行截面面积求体积

  3. 平面曲线的弧长与曲率

  4. 旋转曲面的面积

  5. 微元法、旋转曲面的面积

  6. 定积分在物理上的某些应用

    液体的压力、引力、功与平均功率。

【教学建议】

  1. 使学生掌握由连续曲线所围成的平面图形在直角坐标系下的面积计算方法；

  2. 理解并掌握由截面面积函数求空间立体体积的方法；

  3. 掌握曲线弧长的参数表达式和直角坐标、极坐标的各种形式及计算方法；

  4. 理解并掌握用微元法求旋转曲面面积的方法；

  5. 了解定积分在物理中的某些应用。

第10章  反常积分(12学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生深刻理解反常积分的概念，熟练掌握无穷限非正常积分和无界函数非正常积分的性质与收敛判别法。

【教学重点】

反常积分的概念与性质

【教学难点】

非正常积分敛散性的判别

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

  1. 反常积分概念

  2. 无穷积分的性质与收敛判别

  3. 瑕积分的性质与收敛判别法

【教学建议】

理解非正常积分的概念，掌握无穷限非正常积分和无界函数非正常积分的性质与收敛判别法。

第11章  数项级数(10学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生明确认识级数是研究函数的一个重要工具；明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。

【教学重点】

级数的基本概念与性质，正项级数敛散性的判别法

【教学难点】

一般项级数敛散性的判别法

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

  1. 级数的收敛性

    级数的收敛性概念和性质、级数收敛的柯西收敛准则。

  2. 正项级数

    正项级数收敛性的一般判别法(比较判别法、比式判别法、积分判别法)。

  3. 一般项级数

    交错级数、绝对收敛级数及其性质。

【教学建议】

  1. 理解并掌握级数、部分和、收敛、发散的概念；

  2. 理解级数的收敛准则和性质；

  3. 熟练掌握正项级数的敛散性判别法的比较原则，比式、根式判别法；

  4. 牢记并熟练掌握等比级数、调和级数的敛散性，且能灵活应用；

  5. 理解交错级数的概念，进而掌握其敛散性判别法；

  6. 弄清绝对收敛的含义并掌握其有关的性质及一般项级数的敛散性判别法。

第12章  函数列和函数项级数(15学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生理解怎样用函数列(或函数项级数)来表示一个函数；掌握如何利用函数列(或函数项级数)来研究被它表示的函数的性质．

【教学重点】

函数列一致收敛的概念、性质

【教学难点】

一致收敛的概念、判别和应用

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

  1. 一致连续性

    函数列及其一致收敛性，函数项级数及其一致收敛性，函数项级数的一致收敛性判别法。

  2. 一致收敛函数列与函数项级数的性质

    连续性、可积性、可导性。

【教学建议】

  1. 理解并掌握函数列与函数项级数一致收敛的概念和性质；

  2. 掌握函数项级数的几个重要判别法，并能利用它们去进行判别；

  3. 掌握一致收敛函数列与函数项级数的极限与和函数的连续性、可积性、可导性，并能利用它们去解决问题。

第13章  幂级数(8学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生理解幂级数的有关概念，掌握其收敛性的有关问题；理解幂级数的运算，掌握函数的幂级数展开式并认识余项在确定函数能否展为幂级数时的重要性。

【教学重点】

幂级数的收敛区间、收敛半径、展开式

【教学难点】

收敛区间端点处敛散性的判别

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

  1. 幂级数

    幂级数的收敛区间，幂级数的性质，幂级数的运算。

  2. 函数的幂级数展开

    泰勒级数，初等函数的幂级数展开式。

【教学建议】

  1. 掌握幂级数的概念、性质、收敛域、一致收敛性；

  2. 理解并会求幂级数的收敛区间和半径；

  3. 理解和函数的性质，掌握幂级数的有关运算。

第14章  多元函数的极限与连续(10学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生明确认识多元函数与一元函数的相同和不同之处，进而掌握多元函数研究的方法和特点；明确研究多元函数的目的及其用途。

【教学重点】

平面点集的有关概念与二元函数的连续性

【教学难点】

二元函数极限的证明

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

  1. 平面点集与多元函数

  2. 二元函数的极限

    二元函数的重极限、累次极限。

  3. 二元函数的连续性

    二元函数的连续性概念、有界闭域上连续函数的性质。

【教学建议】

  1. 掌握平面点集的有关概念，并能求出函数的定义域、绘出其图形；

  2. 理解并掌握二元函数的极限，并能利用累次极限解决问题，搞清重极限与累次极限的关系；

  3. 理解二元函数的连续性，掌握有界闭区域上连续函数的性质。

第15章  多元函数微分学(14学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续之间关系；掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。

【教学重点】

全微分的概念、偏导数的计算及其应用

【教学难点】

复合函数偏导数的计算

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

  1. 可微性

    可微性与全微分，偏导数，可微性条件，可微性几何意义及应用。

  2. 复合函数微分法

    复合函数的求导法则，复合函数的全微分。

  3. 方向导数与梯度

【教学建议】

  1. 理解偏导数、全微分、方向导数、梯度等概念，搞清可微、连续、偏导数存在、偏导数连续之间的关系；

  2. 熟练掌握求偏导数特别是求复合函数偏导数的运算。

     

第16章  隐函数定理及其应用(14学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生理解隐函数(组)定理的有关概念及隐函数存在的条件，进而会求隐函数(组)的导数。

【教学重点】

隐函数定理

【教学难点】

隐函数定理的应用

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

  1. 隐函数

    隐函数概念，隐函数存在性条件的分析，隐函数定理，隐函数求导举例。

  2. 隐函数组

    隐函数组概念，隐函数组定理，反函数组与坐标变换。

  3. 几何应用

    平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与法线，空间曲面的切平面与法线。

【教学建议】

  1. 深刻理解隐函数概念，掌握隐函数(组)定理及反函数组定理，要求能运用定理验证方程(或方程组)确定隐函数(隐函数组)，能熟练准确求隐函数(隐函数组)与反函数的偏导数，了解隐函数存在的几何意义及坐标变换的一些结果；

  2. 会求平面曲线的切线方程和法线方程；空间曲线的切线方程与法线方程；空间曲面的切平面方程与法线方程。

第17章  曲线积分(8学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生理解第一、第二型曲线积分的有关概念；掌握两类型曲线积分的计算方法。

【教学重点】

曲线积分的概念和计算

【教学难点】

曲线积分的计算

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

  1. 第一型曲线积分

    第一型曲线积分的定义、第一型曲线积分的计算。

  2. 第二型曲线积分

    第二型曲线积分的定义、第二型曲线积分的计算。

【教学建议】

  1. 理解并掌握第一型曲线积分的定义、性质、计算；

  2. 理解并掌握第二型曲线积分的定义、性质、计算。

第18章  重积分(16学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生理解并掌握二重积分的有关概念及可积条件、进而计算二重积分；理解三重积分的概念，了解三重积分的计算方法并能应用其解决有关的数学、物理方面的计算问题。

【教学重点】

重积分的计算和格林公式

【教学难点】

化重积分为累次积分、重积分的变量替换、利用柱面坐标与球面坐标计算三重积分

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

  1. 二重积分概念

    平面图形的面积、二重积分的定义及其存在性、二重积分的性质。

  2. 直角坐标系下二重积分的计算

  3. 格林公式、曲线积分与路线无关性

    格林公式、曲线积分与路线无关性。

  4. 二重积分的变量变换

    二重积分的变量变换公式、用极坐标计算二重积分。

  5. 三重积分

    三重积分的概念、化三重积分为累次积分、三重积分换元法。

  6. 重积分的应用

    曲面的面积、重心、转动惯量、引力。

【教学建议】

  1. 掌握重积分的概念、可积条件、性质；

  2. 会用累次积分的方法计算二重积分、能根据积分区域和被积函数的特点选取适当的累次积分顺序计算二重积分，熟练掌握极坐标替换，一般坐标变换的方法；

  3. 会用累次积分的方法计算三重积分，能根据三维空间中的积分区域和被积函数的特点选取适当的累次积分顺序计算三重积分，另外，应用柱面坐标，球面坐标与广义球面坐标变换计算三重积分；

  4. 会用二重积分、三重积分计算物理重心坐标和物体的转动惯量以及平面图形的面积、立体的体积等；

  5. 理解并掌握格林公式及曲线积分与路线的无关性，并解决有关计算问题．

第19章  曲面积分(10学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生理解第一、第二型曲面积分的概念，并掌握其计算方法；掌握高斯公式与斯托克斯公式。

【教学重点】

曲面积分的概念和计算

【教学难点】

第二型曲面积分的计算，Stokes公式的应用

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

  1. 第一型曲面积分

    第一型曲面积分的概念、第一型曲面积分的计算。

  2. 第二型曲面积分

    曲面的侧、第二型曲面积分的概念、第二型曲面积分的计算。

  3. 高斯公式与斯托克斯公式

【教学建议】

  1. 理解第一型曲面积分的定义、性质及计算；

  2. 理解并掌握曲面的侧的概念、第二型曲面积分的定义、性质及计算；

  3. 理解并掌握高斯公式与斯托克斯公式，并能应用其解决某些计算问题。

     

     

    执笔人： 王飞   审定人：王飞