统计专业《高等代数》课程教学大纲

课程编号：0712020102

课程基本情况：

1．课程名称：高等代数

2．英文名称：Advanced Algebra

3．课程属性：专业基础课

4．学　　分：8+3         总 学 时：137+51

5．适用专业：应用统计学

6．先修课程：

7．考核形式：考试/考查

〇、本次教学大纲的修订说明

本次大纲拟在18级本科生中实行。本次修订和以往大纲最大的区别在于将《高等代数》分为三个学期授课。分三学期授课的优势主要体现在如下方面：

首先，第一学期的教学内容主要是行列式，线性方程组，和矩阵等内容。这部分内容重在计算和操作，学生容易接受。通过教学，教师在引导学生学习知识的同时，可以逐步引导学生适应大学的学习生活。至少不至于一上《高等代数》课，考试就不及格，影响其他课程的学习不说，也影响学习的学习劲头。其次，第二学期的教学内容主要是多项式，向量空间，线性变换及多项式环上的矩阵理论初步。从这一学期开始，该课程的教学由重计算逐步向重抽象理论证明的转移，通过教学，引导学生了解线性空间的基本内容，体会数学的抽象之美，在理解的基础上基本掌握大纲所要求的基本内容。最后，第三学期的内容是二次型，欧氏空间和双线性函数等内容。这部分内容一方面是大学通行教材《解析几何》的自然推广，另一方面也是现代数学的基础，相对而言比较难。从教的角度上讲，教师要尽可能体现该课内在的逻辑体系；从学的角度上讲，学生要努力掌握教师所讲授的知识。从考核的角度上，这一学期的考核内容，大部分学生可以通过努力通过考核。避免大面积不及格的惨况发生。

第一、第二学期为必修内容，分别为3和5个学分共137个学时。第三学期为选修内容，3个学分，51个课时。

一、本课程的性质、地位和作用

《高等代数》是高等院校数学专业的重要基础课之一。它是初等代数的继续和提高，是学习其它数学学科和现代科学技术的必备基础，对于中学数学教学工作具有重要的理论指导作用。它一方面为后继课程(如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析)提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强“三基”(基础知识、基本理论、基本技能)及培养学生创造型能力等方面起到的重要作用。

 

二、教学目的与要求

   1. 使学生掌握一元多项式及线性代数的基础知识和基本理论。

   2. 使学生熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要数学思想和数学方法，提高其抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力。

   3. 使学生进一步掌握具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系，培养其辨证唯物主义观点。

   4. 使学生对中学数学有关内容从理论上有更深刻的认识，以便能够居高临下地掌握和处理中学数学教材，进一步提高中学数学教学质量。

   5. 依据学生的实际状况和教学的实际需要，对大纲所列各章内容分别提出了不同程度的要求，教学时必须着重抓住那些重要内容教好学好。

三、课程教学内容及学时安排

按照教学方案安排，本课程分别安排在第1学期、第2学期和第3学期讲授，其中课内讲授136学时，习题课52学时，具体讲授内容及学时安排见下表：

《高等代数》教学内容及学时分配表

四、参考教材与书目

1．参考教材

北京大学几何与代数教研室小组.高等代数.第三版.北京：高等教育出版社，2006.7

2．参考书目

[1] 张禾瑞，郝炳新.高等代数.第五版.北京:高等教育出版社，2007.6

[2] 姚慕生.高等代数学.上海:复旦大学出版社，1999.5

第1章 行列式(14学时)

【教学目的与要求】

本章主要介绍n阶行列式的概念、性质、计算行列式的方法及其行列式在解线性方程组中的应用，要求学生能够熟悉概念，灵活运用性质简化计算，迅速准确地求出结果，熟练掌握(证)行列式的各种方法，正确理解余子式和代数余子式的概念，利用克拉默规则会解线性方程组。

【教学重点】

n 级行列式的定义、行列式的基本性质、矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换、行列式按一行(列)展开的公式、克莱姆(Cramer)法则。

【教学难点】

拉普拉斯(Laplace)定理， 行列式乘法规则。

【教学方法】

讲授、讨论。

【教学内容】

1.引言

数域以及数域上的运算封闭性，映射，线性方程组，二级、三级行列式。

2.排列

排列、排列的逆序数、对换、奇排列、偶排列等基本概念，对换改变排列的奇偶性，排列的奇偶性的判定。

3.n级行列式

n 级行列式的定义，用定义计算特殊行列式的值。

4.n 级行列式的性质

行列式的性质及其应用。

5.行列式的计算

矩阵、矩阵的初等变换、阶梯形矩阵等基本概念，行列式的计算方法。

6.行列式按一行(列)展开

余子式、代数余子式的概念，行列式按一行(列)展开定理，Vandermonde行列式。

7.Cramer法则

线性方程组的系数矩阵、系数行列式的概念， Cramer法则。

8.Laplace定理、行列式的乘法规则

K 级子式及其余子式、代数余子式的概念，Laplace定理及其应用，行列式的乘法规则。

【教学提示】

与以往教学安排不同的是，本章内容要补充数域和映射的基本概念。关于Laplace定理等内容根据学生情况和实际课时作为选讲内容。

第2章 线性方程组(20学时)

【教学目的与要求】

线性方程组的理论是本大纲中最重要的一章。在理论上、方法上都是学习以后几章的重要基础。本章内容对中学数学教学也具有理论指导作用，是本课程的重点内容之一。主要解决的中心问题：线性方程组有没有解？有解的条件是什么？若有解，有多少解？又有哪些方法去求解? 若解不止一个，是有限个解还是无限多解？在无限多解时，它们如何通过有限个解表示出来？

1.能熟练地运用消元法解线性方程组。

2.要正确理解线性方程组的有解条件，并能够正确地判定一个线性方程组是否有解及解的个数。

3.要能够理解线性方程组的公式解，并能熟练地运用克拉默规则解线性方程组。

4.要具体地领会和掌握本章中蕴涵的重要数学思想方法：特殊与一般的关系；有限与无限的关系；部分与整体之间的关系。

【教学重点】

线性方程组的初等变换、求线性方程组的一般解、n维向量、线性组合、线性相关、线性无关、两个向量组等价、极大无关组、向量组的秩、求向量组的一个极大无关组、矩阵的秩、线性方程组的有解判别定理、线性方程组的公式解、齐次线性方程组的基础解系、基础解系的求法、线性方程组的结构定理、求一般线性方程组有解的全部解。

【教学难点】

线性相关性理论和线性方程组解的理论。

【教学方法】

讲授、讨论。

【教学内容】

1.消元法

线性方程组的初等变换、矩阵的初等变换、线性方程组的一般解

2.n维向量空间

维向量、维向量空间、向量的相等概念， 向量的线性运算及其运算规律

3.线性相关性

向量的线性组合、向量组的线性相关和线性无关、向量组的等价、极大无关组、替换定理及其推论

4.矩阵的秩

矩阵的行秩、列秩、秩的概念及三者之间的关系，矩阵的秩与向量组的秩的关系，矩阵的子式的概念、秩为的充要条件，矩阵的秩的求法

5.线性方程组有解判别定理

6.线性方程组解的结构

齐次线性方程组解的性质及有非零解的充要条件，齐次线性方程组的基础解系的概念及存在性定理，齐次线性方程组的基础解系与通解的方法，非齐次线性方程组的解与其导出组的解之间的关系，非齐次线性方程组的解的结构与通解的求法

7.二元高次方程组

二元多项式的结式的概念，用结式解二元高次方程组的方法

【教学提示】

关于二元高次方程部分内容作为选讲内容。

第3章 矩阵(18学时)

【教学目的与要求】

矩阵在本课程中起者承上启下的作用。尤其是以下几章的学习有重要作用。矩阵是代数研究对象的进一步扩充。由于研究对象的扩充和数学方法的突破，便带来一些新鲜的内容。教学中要注意新旧知识的衔接，使学生顺利地完成这一次认识上的飞跃。具体要求：

1.正确理解和掌握本章的主要概念，熟练而准确地进行矩阵的运算。

2.会判别一个矩阵是否可逆，并会求逆矩阵。

3.掌握初等变换和初等矩阵，可逆矩阵和初等矩阵的关系。

【教学重点】

矩阵的运算、矩阵乘积的行列式定理、矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系、可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵、n阶方阵可逆的充要条件、用公式法逆矩阵、分块矩阵的意义及运算、初等矩阵、用初等变换的方法逆矩阵、分块矩阵的逆、复矩阵的特征值与特征向量。

【教学难点】

初等变换与矩阵乘法的联系。

【教学方法】

讲授、讨论。

【教学提示】

与以往教学安排不同的是，本章内容要补充复矩阵的特征标值与特征向量。

【教学内容】

1. 矩阵的概念

   矩阵概念，矩阵相等。

2. 矩阵的运算

   矩阵的加，减，数乘，乘，方阵的幂，转置等运算及其运算规律，零矩阵，负矩阵，单位矩阵，数量矩阵等概念。

3. 矩阵乘积的行列式与秩

   矩阵乘积的行列式与因子的行列式之间的关系，矩阵退化的概念及充要条件，矩阵乘积的秩与其各因子的秩之间的关系。

4. 矩阵的逆

   可逆矩阵的概念与性质，伴随矩阵的概念与性质，矩阵可逆的充要条件。

5. 矩阵的分块

   分块矩阵的概念与性质。

6. 初等矩阵

   初等矩阵的概念与分类，初等矩阵的逆矩阵，初等矩阵与矩阵的初等变换之间的关系，矩阵等价的概念、性质及充要条件，矩阵可逆的充要条件与用初等变换求逆矩阵的方法。

7. 分块乘法的初等变换及应用举例

   分块乘法的初等变换，分块乘法的应用。

   8.  复矩阵的特征标值与特征向量

   特征标多项式，特征方程，特征值，特征向量。

【教学提示】

与以往教学安排不同的是，本章内容补充复矩阵的特征标值与特征向量。

第4章 多项式(22学时)

【教学目的与要求】

多项式理论是高等代数的重要内容。它是学习其它数学分支必要的基础，也是本课程的重点内容之一。本章主要内容是数域上一元多项式的概念、运算、整除性、因式分解，多项式的根的有关知识，具体要求：

1.一元多项式在本大纲中占有突出的重要位置。它对培养、提高中学数学教师的数学理论和数学素质是非常必要的。

2.应着重掌握以下几个问题：(1)多项式的确切定义；(2)多项式的系数和次数；(3)零多项式和零次多项式的意义；(4)整除性问题的理论及方法；(5)多项式与方程式的联系及区别；(6)多项式的函数观点；(7)有理系数多项式的有关问题；(8)对称多项式的定义。

3.应着重领会辗转相除法、分离重因式法、艾森斯坦判别法的数学思想。

【教学重点】

整除性理论、因式分解理论和根的理论。

【教学难点】

最大公因式、不可约多项式等概念的理解，多项式的整除、互素和不可约多项式等概念之间的联系与区别，定义在有理数域上的多项式的分解，本原多项式及Eisenstein判别法。

【教学方法】

讲授，讨论。

【教学内容】

1. 数环和数域

数环和数域的概念、整数环、有理数域、实数域、复数域、最小数域。

2.一元多项式

多项式的有关概念、多项式的运算和算律；多项式的和及积的次数。

3.整除的概念

整除的定义和基本性质、带余除法。

4.最大公因式

最大公因式的定义、辗转相除法、最大公因式的重要表达式、互素的定义和重要性质。

5.因式分解定理

不可约多项式的定义和性质、因式分解定理及证明、利用典型分解式求最大公因式。

6.重因式

多项式的导式和求导法则、重因式的定义、重因式及其导式的关系、多项式无重因式的充要条件。

7.多项式函数

多项式的值和多项式函数、余式定理、多项式的根和因式定理、综合除法、重根、非零多项式的根的最多个数、多项式的相等与多项式函数的相等。

8.复系数与实系数多项式的因式分解

代数基本定理(不证)、复系数多项式的标准分解式、根与系数的关系、实系数多项式的根的定理、实数域上不可约多项式的定理、实数域上多项式的因式分解定理。

9.有理系数多项式

本原多项式、高斯引理、整系数多项式在有理数域上的可约问题、艾森斯坦判别法、有理数域上多项式的有理根。

10.多元多项式

单项式和多项式的有关概念、多项式的运算和算律、多项式的和及积的次数。

11.对称多项式对称多项式的定义、基本对称多项式、对称多项式的基本定理。

【教学提示】

多元多项式部分作为选讲内容。

第5章 线性空间(22学时)

【教学目的与要求】

线性空间和下一章的线性变换是高等代数的重要理论部分，是线性代数的中心内容.其内容抽象，难度较大，它是几何空间的抽象和推广，线性空间的理论和方法在自然科学、工程技术许多领域得到应用。因此，深刻理解和掌握线性空间的概念，基本理论和基本方法是十分必要的，对于后面的学习也有重要的作用。具体要求：

1.理解向量空间的概念，掌握向量空间的简单性质。

2.理解向量组的线性相关性的各个命题以及基、维数、坐标的概念。

3.理解向量空间同构的概念和性质。

【教学重点】

线性空间的定义、判断一个代数系统是否是线性空间、n维线性空间的概念及其性质、基变换与坐标变换的关系、线性子空间的定义及判别定理、向量组生成子空间的定义及等价条件、子空间的交与和、维数公式、子空间的直和、线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条件。

【教学难点】

线性空间的定义的抽象性，子空间的直和。

【教学方法】

讲授、讨论。

【教学内容】

1.集合，映射

集合与映射及其有关的概念，映射的乘法。

2.线性空间的定义与简单性质

线性空间的概念，线性空间的简单性质。

3.维数，基 与坐标

线性空间中向量组的线性组合，线性表示，等价，线性相关等概念与结论，线性空间的维数，基和坐标的概念。

4.基变换与坐标变换

过度矩阵的概念，基变换下向量的坐标变换公式。

5.线性子空间

线性子空间，生成子空间的概念，线性空间的非空子集作成它的子空间的充要条件，两个向量组生成相同子空间的充要条件，向量组生成子空间的维数等于向量组的秩，扩基定理。

6.子空间的交与和

子空间的交与和的概念，子空间的交与和仍是子空间，子空间的交与和的运算及其适合的规律，维数公式及其推论。

7.子空间的直和

子空间的直和的概念，和是直和的几个充要条件，直和概念的推广。

8.线性空间的同构

线性空间的同构，同构映射的概念，同构映射的基本性质，线性空间的同构具有反身性、对称性、传递性，有限维数线性空间同构的充要条件。

第6章 线性变换(28课时)

【教学目的与要求】

线性变换是线性代数的中心内容之一， 线性变换的概念是解析几何中的坐标变换，数学分析中某些变换等的抽象和推广，它的理论和方法在解析几何，微分方程等许多其他科学红都有广泛的应用。线性变换是线性空间中最简单而又最基本的变换，它对研究线性空间中向量之间的内在联系、线性空间的结构起着重要的作用。本章主要内容是线性变换的运算、性质，线性变换与矩阵的关系以及矩阵的化简等。具体要求：

1.理解线性变换的概念，掌握线性变换的运算及其简单性质。

2.掌握线性变换的矩阵表示法。

3.理解矩阵的特征根、特征向量、特征多项式等基本概念，掌握矩阵可对角化的理论和方法。

【教学重点】

线性变换的定义及性质、线性变换的运算、线性变换与矩阵的联系、矩阵相似、线性变换在不同基下的矩阵、矩阵的特征值、特征向量、特征多项式、求矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵与它们的特征多项式的关系、哈密尔顿-凯莱定理、线性变换在某一组基下的矩阵为对角型的充要条件、线性变换的值域、核、秩、零度、线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系、不变子空间的定义、判定一个子空间是否是A-子空间、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系、将空间V按特征值分解成不变子空间的直和表达式、标准型的定义、最小多项式。

【教学难点】

线性变换与矩阵之间的一一对应关系，线性空间按特征值分解成不变子空间的直和，哈密尔顿-凯莱定理，线性变换的结构。

【教学方法】

讲授、讨论。

【教学内容】

1.线性变换的定义

2.线性变换的运算

加法和数乘法及其算律、乘法及其算律、线性变换的多项式、可逆线性变换及其逆线性变换。

3.线性变换的矩阵

线性变换的矩阵、向量的象的坐标公式、线性变换与矩阵的同构对应、线性变换在不同基下的矩阵、矩阵的相似。

4.特征值与特征向量

特征根和特征向量的定义及求法、特征多项式、相似矩阵的特征多项式。

5.对角矩阵

属于不同特征根的特征向量的线性无关性、特征子空间的维数与所属特征根的重数的关系、线性变换和矩阵可对角化的条件。

6.线性变换的值域与核

线性变换的值域、核、秩、零度等概念，线性变换与矩阵之间的对应关系，线性变换的值域与核的求法。

7.不变子空间

不变子空间的定义和简单性质、不变子空间与简化线性变换的矩阵的关系，线性变换的值域、核、交与和、特征子空间都是线性变换的不变子空间，特征向量与一维不变子空间之间的关系。

8.若当标准形介绍

Jordan块、Jordan形矩阵的概念，每个n级复矩阵都与 Jordan标准形相似。

9.最小多项式

最小多项式的概念与基本性质，求最小多项式的方法，n级矩阵与对角阵相似的充要条件。

第7章 多项式环上的矩阵(13学时)

【教学目的与要求】

多项式环上的矩阵也称为-矩阵。本章由两部分组成，第一部分讨论-矩阵的标准形理论，第二部分讨论矩阵的若当标准形理论与应用。第一部分为第二部分作理论准备，第二部分是本章的主要目的，要求学生掌握行列式因子，不变因子和初等因子的概念、它们之间的关系及求法，掌握若当标准形的理论及应用。

【教学重点】

-矩阵及其标准形、行列式因子、不变因子、初等因子及其之间关系。

【教学难点】

化-矩阵为标准形，求矩阵的Jordan标准形。

【教学方法】

讲授、讨论。

【教学内容】

1.-矩阵

-矩阵的概念，-矩阵的秩，-矩阵可逆的充要条件。

2.-矩阵在初等变换下的标准形

-矩阵的初等变换，-矩阵等价的概念、性质与充要条件，用初等变换化-矩阵为标准形的方法。

3.不变因子

-矩阵的行列式因子、不变因子的概念及它们之间的关系，-矩阵等价、可逆的条件，-矩阵标准形的唯一性。

4．矩阵相似的条件

矩阵相似的充要条件，相似不变量。

5．初等因子

初等因子概念，不变因子与初等因子的关系，求初等因子的方法。

6.Jordan标准形的理论推导

Jordan块、Jordan形矩阵的初等因子的求法，复数矩阵与对角矩阵相似的充要条件，矩阵的Jordan标准形。

第8章 二次型(18学时)

【教学目的与要求】

本章介绍二次型的概念，化二次型为标准形的方法以及实数域上正定二次型。这些内容是线性代数的重要研究对象。在数学的其它分支和物理学中有重要应用，对中学数学教学有直接指导作用。具体要求：

1.掌握二次型的概念、二次型与对称矩阵的关系。

2.掌握二次型化标准形的方法，理解合同矩阵及其性质。

3.理解复数域和实数域上二次型标准形的唯一性。

4.掌握正定二次型的概念及判别法。

【教学重点】

非退化线性替换、二次型的矩阵、二次型与其矩阵的一一对应关系、矩阵的合同、化二次型为标准型、复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性、惯性定理、正定二次型的判别条件、半正定二次型的等价条件。

【教学难点】

惯性定理的证明。

【教学方法】

讲授、讨论。

【教学内容】

1.二次型及其矩阵表示

二次型的矩阵和秩、二次型与对称矩阵一一对应、二次型的等价与矩阵的合同、矩阵的合同变换。

2.标准形

二次型的标准形概念及存在性，化二次型为标准型的方法，对称矩阵的合同标准形。

3.唯一性

复数域和实数域上对称矩阵的合同标准形的存在唯一性、复数域和实数域上对称矩阵合同的充要条件、实数域上对称矩阵的惯性指标和符号差。

4.正定二次型

正定二次型的定义、实二次型为正定二次型的判定条件。

 

第9章 欧氏空间(22学时)

【教学目的与要求】

本章的内容学起来会感觉比前两章容易些。主要是因为欧氏空间(欧几里得空间)是解析几何中普通空间的推广，许多性质都比较容易理解，但也容易受旧知识的束缚。欧氏空间是定义了内积的实数域上的线性空间，在欧氏空间中由于引进了长度，夹角等度量概念，使线性空间具有更丰富的几何内容，从而更深刻的揭露了研究对象的一些新性质，欧氏空间的理论在泛函分析，多元分析中有广泛的应用。因此，掌握好欧氏空间的基本概念和基本理论是十分必要的，对以后的学习具有指导意义。具体要求：

1.要牢记内积关于欧氏空间某一取定基的矩阵是对称矩阵。

2.掌握“正交化方法” ，并搞清它的理论指导。

3.注意抓住正交变换和对称变换各自的特点，特别是与它们对应的矩阵的特点。

【教学重点】

欧氏空间的定义及性质向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念和基本性质、正交向量组、标准正交基的概念、施密特正交化、欧氏空间同构的意义及同构与空间维数之间的关系、正交变换的概念及几个等价关系、正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系、两个子空间正交的概念、正交与直和的关系、正交阵、用正交变换化实二次型为标准形。

【教学难点】

正交变换、正交补、对称变换。

【教学方法】

讲授、讨论。

【教学内容】

1.定义与基本概念

内积的定义和简单性质、柯西-施瓦茨不等式、向量的长度、夹角、距离、向量的正交。

2.标准正交基

正交向量组的概念和性质、正交化方法、规范正交基、规范正交基的过渡矩阵、正交矩阵及其简单性质。

3.同构

欧氏空间的同构，同构映射的概念，同构的性质、充要条件。

4.正交变换

正交变换的定义和基本性质、正交变换和规范正交基的关系、正交变换和正交矩阵的关系、二维空间和三维空间的正交变换的类型。

5.子空间

子空间的正交、向量与子空间的正交、子空间的正交补等概念，正交补的唯一存在性定理。

6.对称矩阵的标准形

对称变换的定义、对称变换和对称矩阵的关系、实对称矩阵的特征根。

7.向量到子空间的距离，最小二乘法

向量到子空间的距离的概念，最小二乘法问题。

8.酉空间介绍

酉空间的定义、酉矩阵及其性质， 酉变换的定义和性质、埃尔米特矩阵。

第10章 双线性函数(11学时)

【教学目的与要求】

本章的目的是介绍线性空间上的双线性函数。要求掌握对偶空间和对偶基、双线性函数(对称、反对称)的概念；理解对称双线性函数与二次型及对称矩阵三者之间的对应关系。

【教学重点】

对称双线性函数。

【教学难点】

有关对称双线性函数的性质及定理的证明。

【教学方法】

讲授。

【教学内容】

1. 线性函数

线性函数、线性函数的基本运算性质、线性函数由基所确定

2. 对偶空间

对偶空间、对偶基、基之间的过渡矩阵与对偶基之间的过渡矩阵之间的关系、二次对偶空间。

3. 双线性函数

双线性函数、度量矩阵，双线性函数的非退化性、对称性、反对称性的刻画，度量矩阵的可对角化，正交基，度量空间，正交空间，辛空间

4. 辛空间

辛正交基，辛同构，辛变换，辛正交补，迷向子空间，witt定理

 

 

 

 

执笔人： 王慧群   审定人：张俊青