课程编号：0712020218
课程基本情况：
1．课程名称：高等代数选讲
2．英文名称：Selected Topics on Higher Algebra
3．课程属性：专业选修
4．学 分： 4 总学时：68
5．适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学、应用统计学
6．先修课程：高等代数
7．考核形式：考查
一、本课程的性质、地位和作用
高等代数选讲是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业和应用统计学专业的一门专业选修课，是对高等代数的基础知识，基本理论和基本方法更深入地进行学习与研究的一门课程．为致力于代数研究的同学奠定基础．
二、教学目的与要求
通过进一步学习高等代数的基础知识，基本理论和基本方法，使同学们更深入地掌握高等代数理论与方法，熟练解题的技巧，举一反三，提高分析问题与解决问题的能力．
三、课程教学内容及学时安排
按照教学方案安排，本课程安排在第7学期讲授，全学程共68学时，其中课内讲授46学时，习题课22学时，具体讲授内容及学时安排见下表：
《高等代数选讲》教学内容及学时分配表
章 |
标题 |
学时数 |
课内讲授 |
习题课 |
1 |
多项式理论 |
8 |
4 |
4 |
2 |
行列式的计算方法 |
6 |
4 |
2 |
3 |
线性方程组理论 |
8 |
6 |
2 |
4 |
矩阵理论 |
6 |
4 |
2 |
5 |
二次型 |
6 |
4 |
2 |
6 |
向量空间 |
8 |
6 |
2 |
7 |
线性变换 |
9 |
6 |
3 |
8 |
λ-矩阵 |
4 |
3 |
1 |
9 |
欧氏空间与酉空间 |
9 |
6 |
3 |
10 |
 双线性函数
|
4 |
3 |
1 |
合 计 |
68 |
46 |
22 |
四、参考教材与书目
1．参考教材
自编讲义．
2．参考书目
[1] 白述伟．高等代数选讲．哈尔滨：黑龙江教育出版社，2000
[2] 王品超．高等代数新方法．济南：山东教育出版社，2002
[3] 胡适耕，刘先忠．高等代数．定理、问题、方法. 北京：科学出版社，2007
第1章 多项式(8学时)
【教学目的与要求】
掌握多项式的定义，系数和次数，零多项式和零次多项式，整除性问题的理论及方法，多项式的函数观点，有理系数多项式的有关问题，对称多项式基本定理．
【教学重点】
整除性理论，因式分解理论和根的理论．
【教学难点】
最大公因式，不可约多项式等概念的理解，多项式的整除，互素和不可约多项式等概念之间的联系与区别，有理数域上多项式的分解，Eisenstein判别法．
【教学方法】
讲授法．
【教学内容】
一元多项式的基本概念，整除的理论及方法，最大公因式，互素，不可约多项式，因式分解理论和根的理论，有理数域上多项式的因式分解，Eisenstein判别法，对称多项式基本定理．
第2章 行列式(6学时)
【教学目的与要求】
通过学习n阶行列式的计算方法以及行列式的应用，要求学生能够熟练行列式的计算与证明方法，熟练掌握Cramer法则．
【教学重点】
n级行列式的计算方法．
【教学难点】
拉普拉斯(Laplace)定理，行列式乘法规则．
【教学方法】
讲授法．
【教学内容】
行列式的各种计算方法与应用．
第3章 线性方程组(8学时)
【教学目的与要求】
1．熟练地运用消元法解线性方程组．
2．理解线性方程组的有解条件，能够正确地判定线性方程组是否有解及解的个数．
3．掌握线性方程组理论的应用．
4．掌握本章中蕴涵的重要数学思想方法：特殊与一般的关系，有限与无限的关系，部分与整体之间的关系．
【教学重点】
消元法的基本理论，向量的线性相关性与矩阵的秩，线性方程组有解的条件、解的结构．
【教学难点】
线性相关性理论，矩阵的秩，线性方程组解的理论．
【教学方法】
讲授法．
【教学内容】
线性相关，线性无关，求向量组的极大无关组，矩阵的秩，线性方程组的有解判别定理，齐线性方程组的基础解系的求法，求线性方程组的全部解，线性方程组理论的应用．
第4章 矩阵理论(6学时)
【教学目的与要求】
1．熟练矩阵的运算．
2．会判别一个矩阵是否可逆，并会求逆矩阵．
3．掌握初等变换和初等矩阵，可逆矩阵和初等矩阵的关系．
【教学重点】
矩阵的运算，矩阵乘积的行列式定理，矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系，可逆矩阵，伴随矩阵，n阶方阵可逆的充要条件，求逆矩阵，初等矩阵，分块矩阵的逆．
【教学难点】
初等变换与矩阵乘法的联系．
【教学方法】
讲授法．
【教学内容】
矩阵的逆与一些运算性质，伴随矩阵，矩阵的初等变换及应用，矩阵的秩，矩阵的和分解与积分解，分块矩阵的运算，初等变换及应用．
第5章 二次型(6学时)
【教学目的与要求】
掌握化二次型为标准形的三种方法：配方法，合同变换法与正交变换法，掌握判定二次型正(负)定，半正(负)定与不定的方法．
【教学重点】
非退化线性替换，二次型的矩阵，矩阵的合同，化二次型为标准形，惯性定理，（半）正定二次型的等价条件．
【教学难点】
惯性定理的证明．
教学方法】
讲授法．
【教学内容】
二次型的矩阵和秩，矩阵的合同，化二次型为标准形的方法，，实对称矩阵的惯性指数和符号差，二次型为（半）正定的判定条件．
第6章 线性空间(8学时)
【教学目的与要求】
1．理解向量空间的概念、简单性质．
2．掌握基、维数、坐标的概念．
3．掌握向量空间同构的概念和性质．
【教学重点】
线性空间的定义与基本性质，维数、基和坐标，子空间及直和，线性空间的同构．
【教学难点】
线性空间的定义，子空间的直和．
【教学方法】
讲授法．
【教学内容】
n维线性空间的概念及其性质，基变换与坐标变换的关系，线性子空间判别定理，向量组生成子空间，子空间的交与和，维数公式，子空间的直和，线性空间同构．
第7章线性变换(9学时)
【教学目的与要求】
通过学习线性变换的运算、性质，线性变换与矩阵的关系以及矩阵的化简等，
1．掌握线性变换的矩阵表示法．
2．掌握矩阵的特征根，特征向量，特征多项式等基本概念，掌握矩阵可对角化方法．
【教学重点】
线性变换及其运算，线性变换与矩阵，特征值与特征向量，线性变换与矩阵的对角化，不变子空间与若当标准形理论等，最小多项式．
【教学难点】
线性变换与矩阵之间的一一对应关系，线性空间按特征值分解成不变子空间的直和，Hamilton-Caylay定理，线性变换的结构．
【教学方法】
讲授法．
【教学内容】
线性变换与矩阵的关系，矩阵相似，求矩阵的特征值和特征向量，相似矩阵与它们的特征多项式的关系，哈密尔顿-凯莱定理，线性变换在某一组基下的矩阵为对角形的充要条件，线性变换的值域、核，判定一个子空间是否是不变子空间，将空间V按特征值分解成不变子空间的直和表达式，若当标准形的定义，最小多项式．
第8章λ-矩阵(4学时)
【教学目的与要求】
通过学习λ-矩阵，要求学生掌握行列式因子，不变因子和初等因子的概念、它们之间的关系及求法，掌握若当标准形的理论及应用．
【教学重点】
λ-矩阵及其标准形，行列式因子，不变因子，初等因子及其关系．
【教学难点】
化λ-矩阵为标准形，求矩阵的若当标准形．
【教学方法】
讲授法，讨论法．
【教学内容】
λ-矩阵的有关概念及λ-矩阵的标准形，行列式因子、不变因子、初等因子三个重要概念，它们的性质，相互关系及求法，若当标准形的求法及其应用，有理标准形.
第9章 欧氏空间(9学时)
【教学目的与要求】
1．掌握欧几里得空间的定义及基本性质，柯西-布涅柯夫斯基不等式，正交向量及性质，熟练掌握度量矩阵．
2．掌握标准正交基，熟练掌握施密特正交过程．
3．掌握欧氏空间同构的概念及条件．
4．掌握正交变换概念及其等价命题．
5．掌握子空间正交，子空间的正交补及其性质．
6．熟练掌握实对称矩阵正交相似于对角矩阵的结果及相关计算．
【教学重点】
欧氏空间的基本概念，标准正交基与正交矩阵，正交变换，对称变换与对称矩阵.
【教学难点】
正交变换，正交补，对称变换.
【教学方法】
讲授法.
【教学内容】
欧氏空间的定义及性质，向量的长度，两个向量的夹角，正交及度量矩阵等概念和基本性质，标准正交基的概念，施密特正交化，欧氏空间同构，正交变换的概念及几个等价关系，正交矩阵，用正交变换化实二次型为标准形.
第10章 双线性函数(4学时)
【教学目的与要求】
通过介绍线性空间上的双线性函数，使同学掌握对偶空间和对偶基、双线性函数(对称、反对称)的概念，理解对称双线性函数与二次型及对称矩阵三者之间的对应关系．
【教学重点】
对称双线性函数.
【教学难点】
对称双线性函数的性质及定理的证明.
【教学方法】
讲授法，讨论法.
【教学内容】
线性函数，对偶空间，双线性函数，对称双线性函数.
执笔人：闫慧凰 审定人：张俊青
