课程编号：0712020213

课程基本情况：

1．课程名称：常微分方程

2．英文名称：Ordinary Differential Equation

3．课程属性：专业选修课

4．学　　分： 3   总学时：51

5．适用专业：应用统计学

6．先修课程：数学分析、高等代数、解析几何、大学物理

7．考核形式：考查

一、本课程的性质、地位和作用

常微分方程是统计学专业的一门专业选修课，在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存在满足常微分方程关系式的数学模型，需要求解常微分方程来了解未知函数的性质．常微分方程是解决实际问题的重要工具．通过系统学习常微分方程的有关理论，可以为后继数学课程准备解决问题的方法和工具，提高数学应用能力，更是通向物理，力学，经济等学科和工程技术的桥梁

二、教学目的与要求

1．教学目的

本课程主要目的是用微积分的思想，结合线性代数，解析几何和大学物理学的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为他们学习后继课如微分几何、泛函分析、矩阵分析和数理方程作好准备，另一方面通过这门课本身的学习和训练，使学生们学习数学建模的一些基本方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题，为他们将来从事相关领域的科学研究工作培养兴趣，做好准备．

2．教学要求

通过该课程的学习，要使学生系统地获得常微分方程的基本知识、基本理论，培养和训练学生运算技能及解决问题的能力；要求学生具有熟练的计算推导能力，逻辑推理能力，空间想象能力及综合运用所学知识分析和解决问题的能力；同时为学习后继课程奠定必要的基础．

三、课程教学内容及学时安排

按照教学方案安排，本课程安排在第4学期讲授，全学程共5１学时，其中课内讲授5１学时，习题课16学时，具体讲授内容及学时安排见下表：

《常微分方程》教学内容及学时分配表

 

四、参考教材与书目

1．参考教材

[1] 王高雄．常微分方程．北京：高等教育出版社，2008．7．

2．参考书目

[1] 丁同仁．常微分方程．北京：高等教育出版社．2010.4

[2] 伍卓群．常微分方程．北京：高等教育出版社．2004.1

[3] 王鸿业常微分方程及Maple应用．北京：科学出版社，2011.4

第1章 绪论(2学时)

【教学目的与要求】

理解如何用微分方程解决实际问题；了解积分曲线和方向场概念；掌握常微分方程和偏微分方程, 阶数, 线性和非线性, 解和隐式解，通解和特解，方程和方程组，定解条件和定解问题，驻定和非驻定，动力系统的概念．

【教学重点】

常微分方程的一般形式及其初值问题的一般形式.

【教学难点】

微分方程解的意义.

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体.

【教学内容】

常微分方程模型(用微分方程解决实际问题的基本步骤)，基本概念(常微分方程和偏微分方程、阶数、线性和非线性、解和隐式解、通解和特解、定解条件和定解问题、积分曲线和方向场、方程和方程组、驻定和非驻定、动力系统)和常微分方程的发展历史

【教学建议】

本章将通过几个具体的例子，粗略的介绍常微分方程的一些物理背景和方程的建立问题，讲述了一些最基本的概念，要求学生搞清楚微分方程的基本概念和微分方程的基本任务，微分方程的一般形式及其初值问题的一般形式，最后说明微分方程解的意义．

第2章 一阶微分方程的初等解法(13学时)

【教学目的与要求】

掌握变量分离方程的解法，掌握可化为变量分离方程类型的解法，理解齐次、非齐次概念，熟练掌握线性方程的常数变易法，掌握解恰当方程的积分因子法，理解一阶隐方程和贝努利方程的解法．

【教学重点】

一阶方程的类型及其求解方法．

【教学难点】

一阶隐式微分方程与参数表示．

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体．

【教学内容】

变量分离方程的概念与解法，可化为变量分离方程的几种类型及它们的解法，几个应用举例，线性微分方程与常数变易法（一阶线性方程的概念，齐次、非齐次概念，常数变易法，贝努利方程解法），恰当微分方程与积分因子， 一阶隐式微分方程与参数表示（可以解出或的方程，不显含或的方程）．

【教学建议】

介绍微分方程的类型，阐明不同类型微分方程的解法，让学生理解微分方程初等解法的意义．

第3章 一阶微分方程的解的存在定理(4学时)

【教学目的与要求】

1．深刻理解解的存在唯一性定理的条件与结论；

2．掌握逐步逼近方法的基本思想；

3．理解解的一般性质；

4．理解解的延拓；

5．利用逐步逼近序列进行似计算和误差估计．

【教学重点】

1．解的存在唯一性；

2．解的延拓．

【教学难点】

解的存在唯一性

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体．

【教学内容】

解的存在唯一性定理与逐步逼近法（存在唯一性定理，近似计算和误差估计），解的延拓，解对初值的连续性和可微性定理（解关于初值的对称性，解对初值的连续依赖性，解对初值的连续依赖定理，解对初值的连续性定理，解对初值和参数的连续性定理，解对初值的可微性，解对初值的可微性定理．

【教学建议】

介绍解的存在唯一性定理的条件与结论，重点介绍逐步逼近方法的基本思想，解的延拓简单介绍解对初值的连续依赖性和可微性．

第4章 高阶微分方程(16学时)

【教学目的与要求】

1．理解高阶线性方程解的性质和解的结构；

2．熟练掌握常系数高阶线性方程的解法；

3．掌握高阶方程的一般解法．

【教学重点】

常系数高阶线性方程的解法．

【教学难点】

高阶方程的降阶法和幂级数解法．

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体．

【教学内容】

n阶线性微分方程解的存在唯一性定理，齐次线性微分方程的解的性质与结构，非齐次线性微分方程的解的性质与结构及常数变易法，复值函数与复值解，常系数齐次线性微分方程和欧拉方程，非齐次线性微分方程比较系数法，高阶微分方程的降阶法．

【教学建议】

简单介绍高阶微分方程的降阶法，重点介绍线性微分方程解的性质与结构，常系数齐次线性微分方程的特征根法，常系数非齐次线性微分方程的比较系数法，阐明高阶方程的一般解法．

第5章 线性微分方程组(16学时)

【教学目的与要求】

1．理解微分方程组解的存在唯一性定理，理解逐步逼近法；

2．掌握线性微分方程组的基本理论和基本解矩阵的性质；

3．掌握常系数线性方程组基本解矩阵的计算，特别是expA的定义、性质和计算方法；

4．理解高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系，会将线性微分方程组的有关结论推广到高阶线性微分方程．

【教学重点】

1．线性微分方程组的基本理论和基本解矩阵的性质；

2．常系数线性方程组基本解矩阵的计算，特别是exp(A)的定义、性质和计算方法；

【教学难点】

1．解矩阵的定义和性质；

2．常数变易法；

3．解的结构；

4．矩阵指数exp(A)的定义及其性质；

5．基本解矩阵的计算公式．

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体．

【教学内容】

线性微分方程组解的存在唯一性定理，向量与矩阵的表述方法，齐次线性微分方程组解的结构，非齐次线性微分方程组解的结构和常数变易法，常系数线性微分方程组基解矩阵的求法．

【教学建议】

重点阐明线性微分方程组的基本理论和基本解矩阵的性质，重点介绍高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系，常系数线性微分方程组基解矩阵的求解，将线性微分方程组的有关结论推广到高阶线性微分方程．

执笔人： 张蓬霞 审定人：王飞