课程编号：0712020212
课程基本情况：
1．课程名称：数学分析Ⅲ
2．英文名称： Mathematical AnalysisⅢ
3．课程属性：专业选修课
4．学 分： 3 总学时：51
5．适用专业：应用统计学
6．先修课程：数学分析Ⅰ、Ⅱ、 高等代数Ⅰ、Ⅱ、 空间解析几何
7．考核形式：考查
一、本课程的性质、地位和作用
课程性质：本课程属于专业选修课。
课程的地位和意义：本课程是数学分析的加深和提高。通过本课程的学习，使学生进一步灵活掌握数学分析中的基本思想方法，为后续课程的学习打好坚实的基础，对提高学生的思维能力、开发学生智能、培养学生创新能力将起到重要作用。
二、教学目的与要求
在前两个学期已经掌握的基本思想方法外，增加一定数量的理论和能反映典型方法和技巧的例题，加强学生基本功训练，提高数学演算能力，进行较系统的总结和分类指导，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力。
三、课程教学内容及学时安排
按照教学方案安排，本课程安排在第3学期讲授，全学程共51学时，其中课内讲授37学时，习题课14学时，具体讲授内容及学时安排见下表：
《数学分析Ⅲ》教学内容及学时分配表
讲 |
标题 |
学时数 |
课内讲授 |
习题 |
备注 |
1 |
实数的完备性 |
4 |
2 |
2 |
|
2 |
傅里叶级数 |
8 |
6 |
2 |
|
3 |
含参量积分 |
10 |
8 |
2 |
|
4 |
一致连续性、一致收敛性 |
8 |
6 |
2 |
|
5 |
极值 |
6 |
4 |
2 |
|
6 |
曲线、曲面积分关系 |
5 |
3 |
2 |
|
7 |
狄利克雷、阿贝尔判别法 |
10 |
8 |
2 |
|
合计 |
51 |
37 |
14 |
|
四、参考教材与书目
1.参考教材
华东师范大学数学系.数学分析(上，下).第四版.北京：高等教育出版社，2010
2.参考书目
陈纪修，於崇华，金路.数学分析(上).北京：高等教育出版社，1999.9
陈纪修，於崇华，金路.数学分析(下).北京：高等教育出版社，2000.4
裴礼文．数学分析中的典型问题与方法．北京：高等教育出版社，2006.4
钱吉林．数学分析题解精粹．武汉：崇文书局．2009.9
第1章 实数的完备性(4学时)
【教学目的与要求】
通过本章的教学，使学生掌握实数完备性的六个基本定理，能准确地加以表述，深刻理解其实质意义，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关的命题。
【教学重点】
实数完备性的基本定理
【教学难点】
实数完备性基本定理的证明和应用
【教学方法】
讲授、讨论、多媒体
【教学内容】
1.关于实数集完备性的基本定理
区间套定理与柯西收敛准则、聚点定理与有限覆盖定理、实数完备性基本定理的等价性。
2.区间上连续函数性质的证明
有界性定理、最大(小)值定理、介值性定理以及一致连续性定理。
上极限和下极限
第2章 傅里叶级数(8学时)
【教学目的与要求】
通过本章的教学，使学生理解以
为周期的函数的傅里叶级数的有关概念；明确以
为周期的函数的傅里叶级数是为周期的函数的傅里叶级数的推广，并理解奇、偶函数的傅里叶级数。
【教学重点】
将一个函数展成傅里叶级数
【教学难点】
傅里叶级数收敛的判别
【教学方法】
讲授、讨论，多媒体
【教学内容】
傅里叶级数
三角级数、正交函数系、以为周期的函数的傅里叶级数、收敛定理。
以为周期的函数的展开式
以为周期的函数的傅里叶级数、奇函数与偶函数的傅里叶级数。
收敛定理的证明
第3章 含参量积分(10学时)
【教学目的与要求】
通过本章的教学，使学生掌握含参量正常积分的概念、性质及计算方法；掌握两种含参量反常积分的概念、性质及计算方法；掌握欧拉积分的形式及有关计算。
【教学重点】
含参量积分的性质
【教学难点】
含参量反常积分一致收敛性的判定
【教学方法】
讲授、讨论，多媒体
【教学内容】
含参量正常积分
含参量正常积分的连续性、可积性、可微性。
含参量反常积分
一致收敛性及其判别法、含参量反常积分的性质。
欧拉积分
G－函数、B－函数、G－函数与B－函数之间的关系。
第4章 一致连续性、一致收敛性(8学时)
【教学目的与要求】
通过本章的教学，使学生掌握一致连续和一致收敛的概念、性质；掌握判断函数一致连续的方法；掌握函数列以及函数项级数一致收敛的判断方法。会利用一致收敛解决相关的微分和积分问题。
【教学重点】
函数一致连续性和函数列（函数项级数）一致收敛的判定
【教学难点】
一致连续和一致收敛性的判定
【教学方法】
讲授、讨论，多媒体
【教学内容】
函数的一致连续性
一致连续性的概念、性质，一致连续与连续的关系，一致连续的应用。
函数列的一致收敛性
函数列一致收敛性及其判别法、性质以及应用。
函数项级数的一致收敛性
函数项级数一致收敛性及其判别法、性质以及应用。
第5章 极值(6学时)
【教学目的与要求】
通过本章的教学，使学生掌握函数极值的概念；掌握一元与二元函数极值的求解方法，清楚极值和最值的关系。
【教学重点】
函数极值的求解方法
【教学难点】
二元函数的条件极值的求法
【教学方法】
讲授、讨论，多媒体
【教学内容】
一元函数极值
一元函数极值的概念、必要条件以及充分条件，最值的求法。
二元函数的无条件极值
二元函数的极值概念、判断方法，最值的求法。
二元函数的条件极值
拉格朗日乘数求极值的方法。
第6章 曲线、曲面积分关系(5学时)
【教学目的与要求】
通过本章的教学，使学生掌握第一型曲线积分与第二型曲线积分的转化关系；掌握第一型曲面积分与第二型曲面积分的转化关系；掌握斯托克斯公式。
【教学重点】
斯托克斯公式
【教学难点】
曲线、曲面积分的相互转化
【教学方法】
讲授、讨论，多媒体
【教学内容】
第一型曲线积分与第二型曲线积分的转化关系
第一型曲线积分与第二型曲线积分的区别与联系。
第一型曲面积分与第二型曲面积分的转化关系
第一型曲面积分与第二型曲面积分的区别与联系。
斯托克斯公式
第7章 狄利克雷、阿贝尔判别法(10学时)
【教学目的与要求】
通过本章的教学，使学生掌握狄利克雷判断一致收敛的方法；掌握阿贝尔判断一致收敛的方法。
【教学重点】
狄利克雷和阿贝尔判别法
【教学难点】
狄利克雷和阿贝尔判别法的应用
【教学方法】
讲授、讨论，多媒体
【教学内容】
反常积分的狄利克雷和阿贝尔判别法
含参量反常积分的狄利克雷和阿贝尔判别法
函数项级数的狄利克雷和阿贝尔判别法
执笔人：程秀清 审定人：王飞
