课程编号：0712020106

课程基本情况：

1．课程名称：概率论

2．英文名称：Probability Theory

3．课程属性：专业基础课

4．学　　分：4     总学时：68

5．适用专业：应用统计学

6．先修课程：数学分析、高等代数

7．考核形式：考试

一、本课程的性质、地位和作用

《概率论》是应用统计学专业的一门专业必修课，是研究随机现象统计规律性的一门数学课程，其理论及方法与数学其它分支相互交叉和渗透，已经成为许多自然科学、社会和经济科学、管理等学科重要的理论工具．由于其具有很强的应用性，特别是随着社会统计应用软件的普及和完善，使其应用面几乎涵盖了自然科学和社会科学的所有领域．本课程侧重于理论探讨，介绍概率论的基本概念，建立一系列定理和公式，寻求解决统计和随机过程等问题的方法．通过对本课程的学习，可以使得学生初步掌握处理随机现象的基本理论和方法，培养他们解决某些相关实际问题的能力．

二、教学目的与要求

1．教学目的

通过本课程的讲授和学习，使学生获得概率论的基本知识和基本运算技能，同时使学生在运算数学方法分析和解决问题的能力得到进一步的培养和训练，并为学习有关专业课程和扩大数学知识面提供必要的数学基础．

2．教学要求

本课程具有很强的应用性，在教学过程中要注意理论联系实际，从实际问题出发，通过抽象、概括，引出新的概念．概率论的求解方法主要包含在排列组合、数学分析和高等代数研究方法中，这些知识是学习概率论的重要基础，要求学生熟悉掌握．随机变量的理论是贯穿于概率论整个过程的比较完整的理论，它的意义在于把概率问题转化为函数理论，通过对它的学习，使学生在数学分析等有关理论框架下，对随机现象有更深层次的理解，有助于学生对数学理论的统一性加深理解．

三、课程教学内容及学时安排

按照教学方案安排，本课程安排在第三学期讲授，全学程共68学时，其中课内讲授52学时，习题课16学时，具体讲授内容及学时安排见下表：

《概率论》教学内容及学时分配表

四、参考教材与书目

1．参考教材

茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程．第二版．北京：高等教育出版社，2011

2．参考书目

[1] 盛骤，谢式千，潘承毅．概率论与数理统计（第四版）．北京：高等教育出版社，2008

[2] 杨振明．概率论．北京：科学出版社，2007

[3] 韩旭里，谢永钦．概率论与数理统计（修订版）．北京：高等教育出版社，2009

第 1 章 随机事件与概率(16学时)

【教学目的与要求】

1．理解随机试验、随机事件的概念，熟练掌握事件之间的关系与运算，并能熟练使用其表示复杂事件；

2．理解事件的频率与概率的概念及其关系，熟练掌握概率的古典定义、几何定义，并会计算古典概型、几何概型的概率；

3．掌握概率的性质；

4．理解条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式的意义，熟练掌握这些公式的应用；

5．理解随机事件的独立性的概念，能应用事件的独立性进行概率计算．

【教学重点】

1．随机事件的概念、事件之间的关系与运算；

2．随机事件的频率与概率之间的关系，概率的公理化定义，古典概型、几何概型的概率计算；

3．概率的性质；

4．条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式的应用；

5．会判断事件的独立性以及会利用独立性解决实际问题．

【教学难点】

1．理解概率的古典定义、几何定义，如何利用这些定义式计算概率；

2．条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式的应用；

3．会判断事件的独立性以及会利用独立性解决实际问题．

【教学方法】

讲授、讨论．

【教学内容】

1．随机事件及其运算

随机现象，样本空间，随机事件，事件间的关系，事件运算，事件域．

2．概率的定义及其确定方法

概率的公理化定义，排列与组合公式，确定概率的频率方法、古典方法、几何方法．

3．概率的性质

概率的可加性、单调性、加法公式、连续性．

4．条件概率

条件概率的定义，乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式．

5．独立性

两个事件的独立性，多个事件的独立性，试验的独立性．

【教学建议】

在中学所学的概率的基础上，进一步来介绍随机事件及其事件的概率的定义方法，接着介绍概率的性质，计算概率的公式，事件的独立性．在教学的过程中，尽量通过一些生动有趣的例子来帮助同学们掌握这些知识点．

第 2 章 随机变量及其分布(18学时)

【教学目的与要求】

1．理解分布函数的概念及性质，掌握分布列与分布函数的关系并会用它们求事件的概率；理解连续型随机变量的特性及密度函数的概念，会使用密度函数求概率；

2．熟练掌握随机变量的数学期望、方差的概念及其求法；

3．掌握常见的离散分布、连续分布；

4．掌握随机变量函数的分布；

5．了解分布的其他数字特征．

【教学重点】

1．随机变量、分布函数、分布列、密度函数的定义及其性质．并会利用它们计算概率；

2．数学期望和方差的定义、性质和它们的应用；

3．常见的离散分布：(0-1)分布、二项分布、泊松分布、几何分布、超几何分布、负二项分布；

4．常见的连续分布：均匀分布、指数分布、正态分布；

5．随机变量函数的分布的求解方法．

【教学难点】

1．分布函数与分布列的关系，分布函数与密度函数的关系以及如何使用它们求解概率；

2．随机变量的期望和方差的定义及其计算；

3．如何求解随机变量函数的分布．

【教学方法】

讲授．

【教学内容】

1．随机变量及其分布

随机变量的概念，随机变量的分布函数，离散随机变量的概率分布列，连续随机变量的概率密度函数．

2．随机变量的数学期望

数学期望的概念、定义、性质．

3．随机变量的方差与标准差

方差和标准差的定义，方差的性质，切比雪夫不等式．

4．常用离散分布

二项分布，泊松分布，超几何分布，几何分布，负二项分布．

5．常用连续分布

正态分布，均匀分布，指数分布，伽玛分布，贝塔分布．

6．随机变量函数的分布

离散随机变量函数的分布，连续随机变量函数的分布．

7．分布的其他特征数

矩、分位数、中位数．

【教学建议】

首先简单介绍随机变量的概念、随机变量的分布函数、离散随机变量的概率分布列、连续随机变量的概率密度函数，阐述分布函数与分布列、分布函数与密度函数的关系．接着介绍随机变量的两个数字特征、常见的分布以及随机变量函数的分布，最后简单介绍分布的几个其他数字特征．

第 3 章 多维随机变量及其分布(20学时)

【教学目的与要求】

1．理解二维随机变量的联合分布函数、联合分布列、联合密度函数、边际分布函数、边际分布列、边际密度函数的概念；会用联合分布求概率和边际分布；掌握随机变量的独立性；

2．掌握求二维随机变量函数的分布的方法；

3．熟练掌握二维随机变量数学期望、方差的性质；掌握矩、协方差、相关系数的概念及求法；

4．了解条件分布和条件期望．

【教学重点】

1．二维随机变量的联合分布函数、联合分布列、联合密度函数、边际分布函数、边际分布列、边际密度函数，会判断随机变量的独立性；

2．会利用联合分布求解边际分布和相关的概率问题；

3．多维随机变量函数的数学期望，数学期望和方差的性质，协方差，相关系数；

4．利用联合分布和边际分布求解条件分布，条件期望．

【教学难点】

1．如何利用联合分布求解边际分布；

2．计算多维随机变量的函数的分布；

3．条件分布和条件期望．

【教学方法】

讲授法，练习法．

【教学内容】

1．多维随机变量及其联合分布

多维随机变量，联合分布函数，联合分布列，联合密度函数，常用多维分布

2．边际分布与随机变量的独立性

边际分布函数，边际分布列，边际密度函数，随机变量间的独立性

3．多维随机变量函数的分布

多维离散随机变量函数的分布，最大值与最小值的分布，连续场合的卷积公式，变量变换法

4．多维随机变量的特征数

多维随机变量函数的数学期望，数学期望与方差的运算性质，协方差，相关系数，随机向量的数学期望与协方差阵

5．条件分布与条件期望

条件分布，条件期望

【教学建议】

在第二章的基础上，来学习这一章．介绍多维随机变量及其它的联合分布、边际分布与随机变量的独立性，阐述清楚联合分布和边际分布的关系．接着介绍多维随机变量函数的分布，多维随机变量的特征数，最后介绍条件分布以及条件期望．

第4章 大数定律与中心极限定理(14学时)

【教学目的与要求】

1．掌握特征函数的定义、性质、定理和常见分布的特征函数；

2．理解依概率收敛、按分布收敛的概念及了解它们之间的关系；

3．掌握大数定律的意义和常见的大数定律；

4．理解中心极限定理的思想及意义，掌握de Moivre-Laplace，Lindeberg-Levy中心极限定理．

【教学重点】

1．特征函数的概念、基本性质、定理，常见分布的特征函数；

2．依概率收敛、按分布收敛的定义和它们之间的关系；

3．理解大数定律的概念，掌握切比雪夫大数定律、Bernoulli大数定律、辛钦大数定律；

4．理解中心极限定理的思想，掌握Lindeberg-Levy中心极限定理、de Moivre-Laplace中心极限定理；

【教学难点】

1．特征函数的性质、定理的应用;

2．依概率收敛、按分布收敛的关系;

3．大数定律的概念理解;

4．中心极限定理的思想，灵活应用中心极限定理求解具体的问题．

【教学方法】

讲授法，练习法．

【教学内容】

1．特征函数

特征函数的定义、性质、定理．

2．随机变量序列的两种收敛性

依概率收敛，按分布收敛（弱收敛），判断弱收敛的方法．

3．大数定律

伯努利大数定律，契比雪夫大数定律、马尔科夫大数定律、辛钦大数定律等常用的大数定律．

4．中心极限定理

独立同分布下的中心极限定理(林德伯格—勒维中心极限定理，棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，二项分布的正态近似)，独立不同分布情形下的中心极限定理简介．

【教学建议】

首先介绍特征函数的概念、性质、定理，随机变量序列的两种收敛性，阐述概率中的这两种收敛性与数学分析中的收敛性的不同之处．重点介绍大数定律和中心极限定理的思想以及应用．

 

执笔人： 李建丽   审定人：李建丽