复变函数教学大纲
教学大纲之一 之二 之三 之四
适用专业数学数学数学工科
主要参考书钟玉泉编《复变函数》第三版
适用学时727254-6832
专业层次本科 数学教育 专升本、专科
数学与应用数学专业《复变函数》教学大纲之一
一、课程基本信息
【课程名称】复变函数
【课程代码】
【学 分】 4
【总 学 时】 72
【课程归属】理学
【英文名称】Complex Functions Therory
【授课类型】理论
【考核方式】考试
【适用专业】数学与应用数学专业
【先修课程】数学分析
二、课程性质、目的和任务
课程性质:专业基础课
课程目的:介绍复变函数理论的基本知识和内容,使学生对复变函数理论的基本内容有一个初步的了解,为进一步学习和研究以及后继课程打下坚实基础.
课程任务:
1.讲述复变函数理论的解析函数论;
2.讲述复变函数理论的积分学;
3.讲述复变函数理论的级数理论;
4.讲述复变函数理论的共形映照基本理论
三、教学基本要求
1.进一步熟悉中学阶段有关复数用其运算的知识；
2.熟悉掌握有关平面点集的概念以及定义在复平面上的函数概念和函数极限，函数连续概念及性质；
3.较熟练地应用复数知识解决初等数学中的有关几何代数问题；
4.深刻理解解析函数的概念及其特性；
5.掌握判断函数可微与解析的重要条件；
6.研究初等解析函数初等多值函数的性质及实变初等函数的异同；
7.掌握如下重要公式和定理：柯西积分定理，柯西积分公式，解析函数的n阶导数公式，柯西不等式，刘维尔定理，摩勒拉定理等；
8.熟练应用柯西积分式，及高阶导数公式计算一些常见的复积分；
9.掌握解析函数项级数的维氏定理，泰勒定理，解析函数零点的孤立性唯一定理，最大模原理等；
10.熟练地用各种方法将一些函数展开为泰勒级数；
11.能深刻理解和掌握孤立点奇点的三种分类法和相应的三类奇点的性质定理；
12.能用罗朗定理将某些函数在圆环内熟练地展开成罗朗级数；
13.深刻理解残数概念；
14.能熟练地应用残数定理计算各种围绕各分和某些实函数的积分；
15.深刻理解解析变换的三个特性；
16.掌握分式线性函数，幂函数与根式函数，指数函数，儒可夫斯基函数等变换的性质和特点；
17.熟练地应用上述函数进行一些曲型区域的保形变换。
数学与应用数学专业《复变函数》教学大纲之二
一、 课程说明
课程总学时72节，周学时4， 学分4，开课学期：4
1、 课程性质：
《复变函数》是数学专业一门主要的专业必修课，是数学分析的后续课程。它的理论和方法，对于数学的其他学科，对于物理，力学，工程技术中的一些问题，有许多重要的应用。通过本课程的教学，应使学生掌握复变函数的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些有关的理论和实际问题的能力，从而为从事教学，科研及其他实际工作打好基础。2、 课程教学目的与要求：
1）通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决些有关的理论和实际问题的能力。为进一步学习其他课程，并为将来从事教学，科研及其他实际工作打好基础。
2）通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，使学生受到严格的思维训练，为初步掌握数学思维方法打下基础。
3）作为师范专业，在有关内容方面注重高等数学对初等数学的提高和指导意义，使学生在今后的工作中有较高的起点。
2、 教学内容与学时安排：
第一章 复数及复平面 4课时
第二章 复变函数 8课时
第三章 复变函数的积分 8课时
第四章 级数 10课时
第五章 留数 10课时
第六章 保形映射 10课时
第七章 解析开拓 16 课时
第八章 数学软件介绍 6课时
3、 课程教学重点与难点：
复变函数论主要研究解析函数。复变函数论的基本理论以柯西定理为基础定理，柯西公式为主要公式。留数定理为柯西定理的推广。保形变换使复变函数几何理论的基本概念。留数理论和保形变换为实际应用提供了特有的复变函数论方法。
因此课程的教学重点是：
（1） 解析函数，柯西积分定理和积分公式
（2） 级数，泰勒展开和罗朗展开式，解析函数的唯一性定理
( 3 ) 留数定理及应用
（4） 线性变换，保形映射
（5） 解析开拓和黎曼面介绍
课程教学的难点是：
（1）多值函数
（2）保形映射
4、课程教学方法与要求
本课程以课堂讲授为主，学生必须完成一定的作业量，部分计算可在计算机上实现。
5、课程考核方法与要求
本课程考核也以笔试为主，主要考核学生对基础理论，基本概念的掌握程度，以及学生逻辑推理能力和计算能力。平时成绩占10%，期中成绩占20%，期末成绩占70%。
6、实践性教学内容安排
介绍数学软件，学生上机练习，培养学生用数学软件解决实际问题的能力。
7、使用教材与参考书
教参：钟玉泉，《复变函数论》（第三版），高等教育出版社，2004年。
教材：余家荣，《复变函数》（第三版），高等教育出版社，2003年。
二、 教学内容纲要
第一章：复数及复平面
一、复数及复平面点集是研究复变函数的基础。
二、主要内容：
1.复数：
复数的定义，代数表达，四则运算，共轭；
复数与平面上点一一对应关系，复平面在几何中的应用；
复平面与平面向量的关系，复数的模，辅角，三角表达式
复球面与无穷大
2.平面点集拓扑
关于复数的基本理论、平面点集、曲线、区域
三、要求：
1.复数的运算，复数与平面点、平面向量的对应关系、模，辅角的概念、性质；
2.区域（单、复连通）光滑曲线、无穷远点复平面，扩充复平面
四、难点：辅角 无穷远点
五、习题：P15：1（3）、5、7、12、14.
第二章：复变函数
一、复变函数及其理论与微分学的相应内容有相似亦有不同，并有一定的联系。解析函数是本课程主要研究对象，解析函数的实、虚部之间深刻的内在联系，体现在柯西——黎曼条件中。
二、 主要内容（8学时）
1. 复变函数的定义、极限、连续性
2. 复变函数的可导性、解析函数、柯西——黎曼定理
3. 初等解析函数、指数、三角、对数、幂函数、（双曲函数）
三、 要求：
1. 复变函数的极限、连续与其实、虚部这一对二元函数的极限连续性的等价性。
2. 有界闭集上连续函数的性质。
3. 解析的概念、复变函数的可导性与其实虚部的可导性的关系、柯西——黎曼定理。
4. 基本初等函数的定义、性质、与相应实函数的同与不同之处
5. 多值函数的概念、分支、分支点的概念。
四、 难点：辐角函数、多值函数的分支点
重点：柯西——黎曼定理和基本初等函数的定义和性质
五、 习题：P47 1、2、4、6、9、11、13、14、16、18
第三章：复变函数的积分
一、 本章包含复变解析函数的最精彩的部分。它从柯西积分定理出发得出柯西积分公式，从而得到解析数的积分表达及其导数的存在性和积分表达，这是实分析中所没有的性质。
二、 主要内容：（8学时）
1. 复积分的定义与性质。
2. 柯西积分定理、积分公式、导数公式、不等式、刘维尔定理、摩勒拉定理
三、 要求：
1.积分的定义、性质、将光滑曲线上的连续函数的积分化成定积分计算
2.柯西积分定理、积分公式、导数公式的内容、推广、及应用它们求积分
3.掌握柯西不等式、刘维尔定理；摩勒拉定理是柯西积分定理的逆定理。
四、 重点：柯西积分定理和柯西积分公式。
五、 习题：P84 2、3、4、9、10、11、12、16、17.
第四章 级数
一、级数是研究解析函数的一个重要工具。泰勒定理和罗朗定理给出了解析函数在解析点展成幂级数和在解析环中展成罗朗级数的可能性。它们在理论上的应用是使我们得到了体现解析函数重要特性和内在联系的定理：解析函数的唯一性定理以及研究已知孤立奇点的性质。
二、主要内容：（10学时）
1.复级数的性质、收敛性
2.幂级数，阿贝尔定理，收敛圆及半径，幂级数和的解析性
3.解析函数的泰勒展式的存在唯一性，初等函数展开幂级数所表达的解析函数在其收敛圆上至少有一个奇点
4.解析函数的零点孤立性及解析函数的唯一性定理
5.罗朗展式的存在唯一性，罗朗展开
6.解析函数的孤立奇点的分类，性质，本性奇点的魏尔斯特拉斯定理和毕卡定理
7.解析函数在无穷远点的性质
8.整函数和亚纯函数的概念
三、 要求：
1. 泰勒定理、罗朗定理及将函数泰勒、罗朗展开
2. 孤立奇点的分类判别
3. 解析函数唯一性定理的内容，意义，证明思路
4. 幂级数的收敛范围及性质
5. 本性奇点的魏尔斯特拉斯定理和毕卡定理
四、习题：P144 1、2、4、5、6、9（1）（2）、10、11（2）（3）、12、14、15、16、17、18
第五章 留数
一、 留数在复变函数论本身及应用中较为主要，留数定理的应用在本章中包含两个方面：一是计算积，二是考察区域内函数的零点分布情况
二、 主要内容：（8学时）
1.留数 、定义、求法、留数定理
2.利用留数定理求积分（I）
3.辐角原理及应用（儒歇定理）
三 、要求：
1.留数的定义、求留数、留数定理
2.利用留数定理求积分的方法
3.幅角原则及儒歇定理，求方程在其范围内的零点个数、代数基本定理
四、 习题：P178 1、3、5、7、8（1）（2）（3）（4）、10、11、12
第六章 保形映射
一、 保形映射是复变函数理论的基本概念。线性变换及其他基本初等函数的变换有某些重要的特性，在实际问题中有重要的应用。
二、 主要内容（10学时）
1. 解析函数变换特性：保角性，保形性。
2. 线性变换的保角性，保圆性，保对称性及应用
3. 线性变换及基本初等函数构成的保形变换
4. 黎曼定理，最大模定理，边界对应定理
三、要求：
1.导数的几何意义及保形变换，线性变换的概念，性质，单叶解析函数的概念
2.利用两个特殊的分式线性函数求保形变换
三、 习题：P224 1、2、4、5、11、13、16（1）（2）（4）
第七章 解析开拓
一、 解析开拓是研究已知区域内解析函数定义域的扩大问题，解析开拓的方法是幂级数法，解析开拓的结果是完全解析函数。引进黎曼面的概念，完全解析函数是黎曼面上的单值解析函数
二、 主要内容：（16学时）
1. 解析开拓
2. 解析开拓的幂级数法
3. 完全解析函数和黎曼面，简单函数的黎曼面
三、 要求
1.明确解析开拓的概念
2.解析开拓的对称原理
3.解析开拓的幂级数法
4.明确完全解析函数的概念，它的存在性，边界
5.黎曼面的概念
四、 习题：P256 3、4、5、6、7、8、9、10
《复变函数》教学大纲之三
说 明
一、 本大纲是以我系双专业教学实施方案为依据，以教育部三年制师范专科数学教育专业《复变函数》教学大纲为主要参考资料而制定的.
二、 《复变函数》是一门数学基础课，它不但是《数学分析》的后续课程，而且也是与其他数学分支有着密切的关系，同时在其它自然科学方面（如电磁学、流体学、理论物理等）也有着较广泛的应用。通过本课程的教学，可以使学生掌握复变函数的基本理论和方法，培养学生具有较高的分析问题和解决问题的能力，为学生将来从事中学数学的教学打下良好的专业基础。
三、 教学目的与要求：
1． 通过对复变函数的学习，使学生掌握复变函数的基本知识和基本理论，了解它在自然科学等方面的一些应用。
2． 在学习数学分析和高等代数的基础上，进一步把函数的研究推广到复数域中，从而使学生对分析学有更完整的认识。
3． 通过对复变函数的学习，使学生对中学数学的有关内容如初等函数、代数基本定理等有更深的理解。
课时安排
按照教学计划安排，本课程为选修课，全学程共68学时，计4学分，在第五学期按每周4学时开设。
1复数与复变函数82
2解析函数102
3复变函数的积分82
4解析函数的幂级数表示102
5解析函数的洛郎展开式与孤立奇点102
6留数理论及其应用102
*7共型映射102
*8解析延拓42
课时合计（不含打*号的内容）5612
教学内容
（加“*”号的内容为选讲内容）
第一章、 复数与复变函数
1.1、 复数
1.1.1、复数域
1.1.2复平面
1.1.3、复数的模与辐角
1.1.4复数的乘幂与方根
1.1.5共轭复数
1.1.6、复数的应用举例
1.2、 复平面上的点集
1.2.1、平面点集的几个基本概念（邻域、聚点、内点、外点、孤立点、边界点、边界、开集、有界集、无界集）
1.2.2、区域与Jordon曲线（区域、简单（闭）曲线、Jordon曲线与Jordon定理、光滑曲线、单连通区域、多连通区域）
1.3、 复变函数
1.3.1复变函数的概念
1.3.2复变函数的极限与连续
1.4、 复球面与无穷远点
1.4.1复球面
1.4.2扩充复平面上的几个基本概念
第二章、 解析函数
2.1解析函数的概念与C—R条件
2.1.1复变函数的导数与微分；
2.1.2解析函数及其简单性质；
2.1.3C—R条件
2.2初等解析函数
2.2.1指数函数；
2..2.2三角函数
2.3初等多值函数
2.3.1根式函数；
2.3.2对数函数
第三章、 复变函数的积分
3.1复积分的概念及其简单性质
3.1.1复变函数积分的定义；
3.1.2复变函数积分的计算；
3.1.3复变函数积分的性质；
3.2Cauchy积分
3.2.1Cauchy积分定理；
3.2.2不定积分；
3.2.3Cauchy积分定理的推广。
3.3Cauchy积分公式及其推理
3.3.1Cauchy积分公式；
3.3.2解析函数的无穷可微性；
3.3.3Cauchy积分公式的几个推理。
3.4解析函数与调和函数的关系
第四章、 解析函数的幂级数表示
4.1复级数的性质
4.1.1复数项级数；
4.1.2一致收敛的复函数项级数；
4.1.3解析函数项级数
4.2幂级数
4.2.1幂级数的敛散性；
4.2.2收敛半径的求法；
4.2.3幂级数的和互数的解析性；
4.3解析函数的Taylor展式
4.3.1Taylor定理；
4.3.2幂级数的和函数在及其收敛圆周上的状况；
4.3.3一些初等函数的Taylor展式
4.4解析函数的零点的孤立性及唯一性定理
4.4.1解析函数零点的孤立性；
4.4.2唯一性定理；
4.4.3最大模定理
第五章、 解析函数的洛郎展式
5.1解析函数的Laurent展式
5.1.1双边幂级数；
5.1.2解析函数的Laurent展式；
5.1.3Laurent级数与Taylor级数的关系
5.2解析函数在孤立奇点邻域内的Laurent展式
5.2.1解析函数的孤立奇点；
5.2.2孤立奇点的分类；
5.2.3孤立奇点的性质；
5.2.4解析函数在无穷远点的性质。
5.3整函数与亚纯函数的概念
第六章、 留数理论及其应用
6.1留数
6 .1.1留数的定义及留数定理；
6.1.2留数的求法；
6.1.3函数在无穷远点的留数
6.2辐角原理及其应用
6.2.1对数留数；
6.2.2辐角原理；
6.2.3Rouche定理；
6.3用留数定理计算实积分
6.3.1计算型积分；
6.3.2计算型的积分；
6.3.3计算型的积分；
第七章、 *共型映射
7.1解析变换的特征；
7.2分式线性变换；
7.3某些初等函数所构成的共型映射；
7.4关于共型映射的黎曼存在定理和边界对应定理。
第八章、 *解析延拓
8.1解析延拓的概念与幂级数延拓；
8.2透弧解析延拓、对称原理；
8.3完全解析函数及黎曼面的概念。
选用教材：
1. 钟玉泉编 《复变函数论》（第二版），高等教育出版社；
2. 路可见等编 《复变函数》，武汉大学出版社；
3. 沈樊昌编 《复变函数论教程》，北京大学出版社。
《复变函数》教学大纲之四
课程编号：1000250
课程中文名称：复变函数
课程英文名称：Complex Functions and Integral Transformation
学时：32
学分：2
基本面向：工科各专业本科
一、本课程的教学目的的性质和任务
本课程是工科相关专业的一门基础课，复变函数是研究复自变量复值函数的分析过程，通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数与积分变换的基本理论和方法，为学习工程力学、电工学，电磁学、振动力学、电子技术等课程奠定必要的基础。
二、本课程的基本要求
通过对本课程的学习，要求学生系统地获得复变函数的基本知识，切实掌握所涉及的基本概念、基本理论和基本方法，具有较熟练的运算能力和初步解决实际问题的能力。为后继课程的学习奠定良好的数学基础。
第一章 复数与复变函数
1. 理解复数的概念及各种表示法
2. 掌握复数的四则运算及乘方、开方运算及它们的几何意义，会进行一些不太复杂的运算
3. 理解区域的有关概念
4. 掌握用复数方程来表示常用曲线及用不等式表示区域的方法
5. 了解复变函数及映射的概念，复变函数与一对二元实函数的关系
6. 知道复变函数的极限与连续
第二章 解析函数
1. 理解复变函数的导数的定义，掌握求导的方法
2. 理解解析函数的定义，掌握函数解析的充要条件，会判断一个函数是否解析
3. 了解指数函数，对数函数，幂函数，三角函数，反三角函数的定义，及它们的解析性质、运算性质
第三章 复变函数的积分
1. 知道复变函数积分的概念，积分的存在性及计算公式，复变函数积分与两个二维曲线积分的关系。
2. 理解柯西—古萨基本定理，掌握积分与路径无关的条件，了解原函数与不定积分的概念
3. 理解复合闭路定理及柯西积分公式，会计算某些围道的积分
4. 理解高阶导数公式，会应用高阶导数公式计算某些积分
5. 了解调和函数的概念，掌握解析函数与调和函数的关系，能由解析函数实（虚）部求虚（实）部
第四章 级数
1. 知道复数列收敛的概念
2. 了解复数项级数收敛的有关定理，能判断复数项级数的收敛性
3. 了解阿贝尔定理及幂级数的收敛情况，掌握求幂级数收敛圆的方法，知道幂级数在收敛域的性质。
4. 知道复变函数展开式成泰勒级数的条件，熟悉几种初等函数的卖克劳林展开式
5. 理解洛伦级数的概念及其收敛域，能熟练地把一些较简单的函数在不同的圆环域内展开为洛伦级数
第五章 留数
1. 了解孤立奇点及其分类，掌握其判断方法
2. 掌握留数定理
3. 掌握求孤立奇点（包括点）的留数的计算，能用留数定理求围道的积分
＊第六章 傅里叶变换
1. 理解傅里叶变换及其逆变换的概念，掌握某些函数的傅里叶变换
2. 了解—函数的概念和性质，记住—函数的傅氏变换
3. 知道傅里叶变换的性质
4. 知道卷积定理
＊第七章 拉普拉斯变换
1. 理解拉式变换的概念，注意它与傅氏变换的区别、联系
2. 掌握求拉式变换的方法
3. 了解拉式变换的性质
4. 了解用留数求拉式逆变换的方法
5. 知道卷积、卷积定理
6. 能熟练应用拉式变换，求解微分方程或微分方程组
三、本课程与其它课程的关系
本课程是高等数学在复数域的推广，高等数学中的重要概念，如导数、积分、级数、微分方程等，在本课程中都有相应的定义，但又显示出新的特点及运算方法。学好高等数学是学好本课程的前提。本课程又是一门重要的基础课，它与工程力学、电子技术，自动控制等课程有密切的联系，是解决诸如流体动力学、电磁学、热学、振动学、弹性理论、频谱分析的有力工具。
四、本课程的教学内容
第一章 复数与复变函数
复数及其代数运算。复数的几何表示。复数的乘幂与方根。区域复变函数。复变函数的极限与连续型
第二章 解析函数
复变函数的导数与微分，解析函数的定义，函数解析的充要条件，初等函数（指数函数、对数、幂函数、三角函数、反三角函数）的定义及解析性质，运算性质
第三章 复变函数的积分
积分的定义、性质及计算，柯西—古萨基本定理，复合闭路定理，柯西积分公式，解析函数的高阶导数，解析函数与调和函数的关系
第四章 级数
复数列、复数项级数的概念，幂级数的概念，幂级数的收敛半径及收敛圆，幂级数在收敛圆内的性质，泰勒级数，罗伦级数
第五章 留数
孤立奇点及其分类，极点与零点的关系，留数的定义，留数的计算（包括的留数），利用留数求围道积分
第六章 傅里叶变换
傅氏积分，傅氏变换及逆变换的概念，函数的傅氏变换，函数的频谱，傅氏变换的性质，卷积定理
第七章 拉普拉斯变换
从傅氏变换到拉式变换，拉式变换的性质，拉式逆变换，卷积与卷积定理，拉式变换在解微分方程中的应用
五、本课程的教学内容重点、难点
第一章：重点：复变函数的概念
第二章：重点：解析函数的概念，函数解析的充要条件，初等函数的概念及其解析性
第三章：重点：柯西—古萨基本定理，复合闭合定理，柯西积分公式，高阶导数的积分表达式，解析函数与调和函数的关系。难点：积分的定义和计算，由解析函数的实（虚）部求虚（实）部
第四章：重点：幂函数的收敛半径及求法，解析函数展开成泰勒级数，几个特殊函数的麦克劳林展开式，在圆环域内解析的函数展开成洛伦级数。难点：复数项级数的绝对收敛、条件收敛、发散。
第五章：重点：可去奇点、极点、本性奇点的概念及判断留数的计算方法，利用留数定理求围道积分。难点：根据函数的不同特点求留数的方法。
第六章：重点：傅氏变换的概念及性质
第七章：重点：拉式变换的概念、性质、应用
六、本课程的教学建议
由于复变函数是实变函数理论的推广，但又产生了质的飞跃，建议在教学和辅导过程中，多采用比较类比的方法，既要指出在概念，计算方面相类似之处，更要指出不同之处。
七、学时分配
章次教学内容学时
一复数与复变函数6
二解析函数8
三复变函数的积分6
四级数6
五留数6
六傅里叶变换
七拉普拉斯变换
总计 =SUM(ABOVE) 36
