高等代数Ⅲ

课程编号：07010100201

课程基本情况：

1.课程名称：高等代数Ⅲ

2.英文名称：Advanced Algebra Ⅲ

3.课程属性：专业选修课

4.学  分：3         总 学 时：48

5.适用专业：数学与应用数学

6.先修课程：高代代数I,II

7.考核形式：考查

 

一、本课程的性质、地位和作用

《高等代数Ⅲ》是大学通行教材《解析几何》的自然推广，另一方面也是现代数学的基础，相对而言比较难。从教的角度上讲，教师要尽可能体现该课内在的逻辑体系；从学的角度上讲，学生要努力掌握教师所讲授的知识。

二、教学目的与要求

通过本课程的学习，使学生熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要数学思想和数学方法，提高其抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力，使学生进一步掌握具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系，培养其辨证唯物主义观点，使学生对中学数学有关内容从理论上有更深刻的认识，以便能够居高临下地掌握和处理中学数学教材，进一步提高中学数学教学质量。

三、课程教学内容及学时安排

按照教学方案安排，本课程分别安排在第3学期讲授，全学程共48学时，其中课内讲授34学时，习题课14学时，具体讲授内容及学时安排见下表：

《高等代数Ⅲ》教学内容及学时分配表

四、参考教材与书目

1．参考教材

北京大学数学系前代数小组编；王萼芳，石生明修订.高等代数.第五版.北京：高等教育出版社，2019.5

2．参考书目

[1] 姚慕生，吴泉水，谢启鸿.高等代数学.第五版.上海:复旦大学出版社，2019.5

[2] 丘维声.高等代数.第二版.北京:清华大学出版社，2019.7

五、课程目标

（一）课程具体目标

课程目标1：系统扎实地掌握二次型、欧式空间、双线性函数的基本理论、基本知识等技能，理解并构建二次型、欧式空间、双线性函数知识体系的基本思想和方法；培养学生利用二次型、欧氏空间等的相关理论和方法研究并解决物理、计算机等学科相关问题的能力；了解基本的学习科学的相关知识，能够将其综合应用于教育教学实践中。[支撑毕业要求3]

课程目标2：培养学生实事求是的科学态度和敢于挑战权威的科学精神，初步掌握反思方法和技能，具有一定创新意识，运用批判性思维方法，学会分析和解决教育教学问题。[支撑毕业要求7]

课程目标3：在教学过程中培养学生学会小组互助、合作学习的能力，并能够在教学实践中加以应用。[支撑毕业要求8]

（二）课程目标与专业毕业要求的关系

（三）课程学习内容与课程目标的关系

六、教学内容安排

第8章 二次型(16学时)

【教学目的与要求】

本章介绍二次型的概念，化二次型为标准形的方法以及实数域上正定二次型。这些内容是线性代数的重要研究对象。在数学的其它分支和物理学中有重要应用，对中学数学教学有直接指导作用。具体要求：

1.掌握二次型的概念、二次型与对称矩阵的关系。

2.掌握二次型化标准形的方法，理解合同矩阵及其性质。

3.理解复数域和实数域上二次型标准形的唯一性。

4.掌握正定二次型的概念及判别法。

【教学重点】

非退化线性替换、二次型的矩阵、二次型与其矩阵的一一对应关系、矩阵的合同、化二次型为标准型、复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性、惯性定理、正定二次型的判别条件、半正定二次型的等价条件。

【教学难点】

惯性定理的证明。

【教学方法】

讲授、讨论。

【教学内容】

1.二次型及其矩阵表示

二次型的矩阵和秩、二次型与对称矩阵一一对应、二次型的等价与矩阵的合同、矩阵的合同变换。

2.标准形

二次型的标准形概念及存在性，化二次型为标准型的方法，对称矩阵的合同标准形。

3.唯一性

复数域和实数域上对称矩阵的合同标准形的存在唯一性、复数域和实数域上对称矩阵合同的充要条件、实数域上对称矩阵的惯性指标和符号差。

4.正定二次型

正定二次型的定义、实二次型为正定二次型的判定条件。

第9章 欧氏空间(22学时)

【教学目的与要求】

本章的内容学起来会感觉比前两章容易些。主要是因为欧氏空间(欧几里得空间)是解析几何中普通空间的推广，许多性质都比较容易理解，但也容易受旧知识的束缚。欧氏空间是定义了内积的实数域上的线性空间，在欧氏空间中由于引进了长度，夹角等度量概念，使线性空间具有更丰富的几何内容，从而更深刻的揭露了研究对象的一些新性质，欧氏空间的理论在泛函分析，多元分析中有广泛的应用。因此，掌握好欧氏空间的基本概念和基本理论是十分必要的，对以后的学习具有指导意义。具体要求：

1.要牢记内积关于欧氏空间某一取定基的矩阵是对称矩阵。

2.掌握“正交化方法” ，并搞清它的理论指导。

3.注意抓住正交变换和对称变换各自的特点，特别是与它们对应的矩阵的特点。

【教学重点】

欧氏空间的定义及性质向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念和基本性质、正交向量组、标准正交基的概念、施密特正交化、欧氏空间同构的意义及同构与空间维数之间的关系、正交变换的概念及几个等价关系、正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系、两个子空间正交的概念、正交与直和的关系、正交阵、用正交变换化实二次型为标准形。

【教学难点】

正交变换、正交补、对称变换。

【教学方法】

讲授、讨论。

【教学内容】

1.定义与基本概念

内积的定义和简单性质、柯西-施瓦茨不等式、向量的长度、夹角、距离、向量的正交。

2.标准正交基

正交向量组的概念和性质、正交化方法、规范正交基、规范正交基的过渡矩阵、正交矩阵及其简单性质。

3.同构

欧氏空间的同构，同构映射的概念，同构的性质、充要条件。

4.正交变换

正交变换的定义和基本性质、正交变换和规范正交基的关系、正交变换和正交矩阵的关系、二维空间和三维空间的正交变换的类型。

5.子空间

子空间的正交、向量与子空间的正交、子空间的正交补等概念，正交补的唯一存在性定理。

6.对称矩阵的标准形

对称变换的定义、对称变换和对称矩阵的关系、实对称矩阵的特征根。

7.向量到子空间的距离，最小二乘法

向量到子空间的距离的概念，最小二乘法问题。

8.酉空间介绍

酉空间的定义、酉矩阵及其性质， 酉变换的定义和性质、埃尔米特矩阵。

第10章 双线性函数(10学时)

【教学目的与要求】

本章的目的是介绍线性空间上的双线性函数。要求掌握对偶空间和对偶基、双线性函数(对称、反对称)的概念；理解对称双线性函数与二次型及对称矩阵三者之间的对应关系。

【教学重点】

对称双线性函数。

【教学难点】

有关对称双线性函数的性质及定理的证明。

【教学方法】

讲授。

【教学内容】

1. 线性函数

线性函数、线性函数的基本运算性质、线性函数由基所确定

2. 对偶空间

对偶空间、对偶基、基之间的过渡矩阵与对偶基之间的过渡矩阵之间的关系、二次对偶空间。

3. 双线性函数

双线性函数、度量矩阵，双线性函数的非退化性、对称性、反对称性的刻画，度量矩阵的可对角化，正交基，度量空间，正交空间，辛空间

4. 辛空间

辛正交基，辛同构，辛变换，辛正交补，迷向子空间，witt定理

七、考核方式及成绩评定

（一）考核方式与课程目标的关系

课程目标	考核内容	所属章节	考核方式	评价依据
1.熟练掌握二次型、欧氏空间、双线性函数的基本概念、理论和方法；理解并构建三章内容的知识体系；培养学生利用相关理论和方法研究并解决物理、计算机等学科相关问题的能力；了解基本的学科相关知识，能够将其综合应用于教育教学实践中。	高等代数的基本原理和方法的掌握和运用能力，运用高等代数解决实际问题的能力	第8-10章	过程考核	出勤、小组学习与汇报、作业、笔记
			期中测验	期中测验成绩
			期末考试	开卷考试成绩
2.培养学生实事求是的科学态度和敢于挑战权威的科学精神，初步掌握反思方法和技能，具有一定创新意识，运用批判性思维方法，学会分析和解决教育教学问题。	反思方法和技能，批判性的思维方法	第8-10章	过程考核	出勤、小组学习与汇报、作业、笔记
			期中测验	期中测验成绩
			期末考试	开卷考试成绩
3.在教学过程中培养学生学会小组互助、合作学习的能力，并能够在教学实践中加以应用。	培养学生团结合作的能力	第9章	过程考核	出勤、小组学习与汇报、作业、笔记
			期中测验	期中测验成绩
			期末考试	开卷考试成绩

 

 

课程目标	考核方式及成绩比例（%）			合计
	平时成绩	期中成绩	期末成绩
课程目标1	18	6	42	66
课程目标2	8	3	9	20
课程目标3	4	1	9	14
合计	30	10	60	100

 

（二）成绩评定

1. 考核方式

本课程考核方式分为平时过程考核、期中测验和期末考试，将终结性评价与形成性评价相结合。平时过程考核包括出勤、小组学习与汇报、作业、笔记；期中测验采用开卷考试的形式；期末考试采用开卷考试的形式.

2. 总成绩评定

总成绩=平时成绩*30%+期中成绩*10%+期末成绩*60%.

3. 平时成绩评定（100分）

（1）出勤（10%）：通过学生的课堂出勤情况进行考核.

（2）小组学习与汇报（30%）：采用翻转课堂方式，通过根据教师布置任务，小组分工合作查阅相关资料、准备汇报材料，由教师随机抽取成员汇报，考察学生系统掌握高等代数的基本原理和方法的情况；培养学生提出问题、分析问题与解决问题的能力；培养学生敢于探索、勇于创新的精神，以及团队精神和合作交流意识.

（3）作业（30%）：通过学生的作业，考察学生对高等代数的基本理论和方法的系统掌握程度，运用高等代数的相关理论和方法研究实际问题的能力.

（4）笔记（30%）：通过学生的课堂笔记检查情况，了解学生对二次型和欧氏空间基本概念、基本理论和基本方法的理解情况，培养学生记笔记的好习惯.

4. 期中测验成绩评定（100分）

期中测验主要考查学生对二次型和欧氏空间的阶段性理解与掌握情况.

5. 期末考试成绩评定（100分）

期末考试以开卷形式考察学生对双线性函数基本概念的了解；考察学生对二次型、欧式空间的基本知识、相关理论和方法等的理解与掌握情况，以及运用相关理论知识分析实际应用中的常见问题与现象等的能力。