复变函数
课程编号：0701010111
课程基本情况：
1.课程名称：复变函数
2.英文名称：Complex Functions
3.课程属性：专业必修课
4.学 分：4 总学时：64
5.适用专业：数学与应用数学
6.先修课程：数学分析、高等代数、解析几何
7.考核形式：考试
一、本课程的性质、地位和作用
复变函数是数学与应用数学专业的一门专业必修课，又是数学分析的后继课．其理论基础是19世纪由三位杰出的数学家Cauchy、Weierstrass和Riemann奠定的，到现在已有一百多年的历史，这是一门相当成熟的学科．它在数学的其他分支(如常微分方程、积分方程、概率论、解析数论、算子理论及多复变函数论等)和自然科学的相关领域(如流体力学、空气动力学、电学及理论物理学等)中都有重要的应用．它通常包含Cauchy的积分理论、Weierstrass的级数理论和Riemann的几何理论这三部分内容．通过对这门课程的学习，可以使学生掌握用复数的方法处理问题的基本思维方法，既有利于后继课程的学习，也有利于加深对数学分析及中学数学中有关内容的理解．
二、教学目的与要求
1．教学目的
通过本课程的讲授和学习，使学生了解和掌握解析函数的一般理论，接受严密的复分析训练，并为将来从事教学，科研及其它实际工作打好基础．
2．教学要求
本课程应重视基本概念的正确理解，基本理论的系统阐述以及基本运算能力的严格训练．教学内容的选择应努力贯彻少而精的原则．在教学中，应注意由浅入深，注意阐明本课程与其它课程的联系，避免不必要的重复，在基本运算方面，例如多值函数的处理、留数定理的应用等，应通过例题及习题，使学生受到足够的训练，掌握有关方法．
三、课程教学内容及学时安排
按照教学方案安排，本课程安排在第5学期讲授，其中课内讲授48学时，习题课16学时，具体讲授内容及学时安排见下表：
《复变函数与积分变换》教学内容及学时分配表
章 |
标题 |
学时数 |
课内讲授 |
习题 |
备注 |
1 |
复数与复变函数 |
8 |
6 |
2 |
|
2 |
解析函数 |
10 |
8 |
2 |
|
3 |
复变函数的积分 |
12 |
9 |
3 |
|
4 |
解析函数的幂级数表示法 |
12 |
9 |
3 |
|
5 |
解析函数的洛朗展式与孤立奇点 |
10 |
8 |
2 |
|
6 |
留数理论及应用 |
12 |
8 |
2 |
|
合计 |
64 |
48 |
16 |
|
四、参考教材与书目
1．参考教材
钟玉泉．复变函数论．第四版．北京：高等教育出版社，2003.
2．参考书目
[1] 潘永亮，汪琥庭．复变函数．北京：科学出版社，2004.
[2] 谭小江，伍胜健．复变函数．简明教程．北京：北京大学出版社，2006.2
[3] 华科大数学与统计学院，复变函数与积分变换 . 高等教育出版社，2018.
3. 课程资源
[1] 本课程的学习资源包括教材、图书馆相关书籍、网络平台相关资料等。
[2] 学生通过登录中国大学慕课(https://www．icourse163．org/)网络平台,参考四川大学吕琦老师主讲的《复变函数论》或者华中科技大学李红老师主讲的《复变函数与积分变换》在线开放课程进行学习．或者参考其它网络平台及相关书籍进行自主学习。
五、课程目标
（一）课程具体目标
课程目标1：通过本课程的学习，让学生感受复数、复变函数和解析函数的基本概念、基本性质，初步掌握复平面与实平面的联系，应用复分析的思想来解决实际问题，日后在教学一线发挥积极作用。[支撑毕业要求2]
课程目标2：使学生系统掌握复变函数的基本性质和基本运算，会应用C-R方程来判断和构造解析函数，同时要正确理解解析函数和实函数在微分、积分和级数中的联系，会用不同的方法来计算不同的积分，从而提高学习兴趣，为今后从事数学教学工作奠定良好的基础。[支撑毕业要求3]
课程目标3：培养和提高学生的思维能力，掌握解析函数的各种不同的判别方法，以及在计算复积分和实积分时各种不同的新方法，要学会自己独立类比和总结，从而分析教材的重点和难点，能够在学习完教学内容后以论文的形式总结和概括复变函数的基本内容。[支撑毕业要求4]
课程目标4：让学生理解学习共同体的作用，要培养团队合作能力，给学生提供小组学习与讨论的机会，加强课堂上学生与老师之间的交流。[支撑毕业要求8]
（二）课程目标与专业毕业要求的关系
课程目标 |
支撑的毕业要求 |
支撑的毕业要求指标点 |
课程目标 1 |
毕业要求2： 教育情怀（M） |
[2-1]树立正确的价值观，理解并认同教师工作的重要意义和专业性，以“做学生成长引路人”为目标，有积极的情感、端正的态度以及投身教育事业的积极意愿。 |
[2-2]具有丰富的人文底蕴和科学精神。 |
[2-3]有正确的教师观和学生观，尊重学生的人格，对待学生有爱心和责任心，对待工作细心且耐心。 |
课程目标 2 |
毕业要求3： 学科素养（H） |
[3-1]系统扎实地掌握数学学科的基本理论、基本知识以及基本实验等技能，理解并构建学科知识体系的基本思想和方法。 |
[3-2]了解数学学科与物理、金融等学科的联系，理解数学学科在社会生活中的实践价值。 |
[3-3]了解基本的学习科学的相关知识，能够将其综合应用于教育教学实践中。 |
课程目标 3 |
毕业要求4： 教学能力（H） |
[4-1]具备教学设计、课堂教学、学业评价等基本教学技能，能够在教学实践中应用学科教学知识和信息技术。 |
[4-2]获得教学体验，掌握初步的教学能力，能够分析教材，把握学情，独立有效地完成各个教学环节。 |
[4-3]具有一定的教学研究能力，具备调查报告、教学论文撰写能力。 |
课程目标 4 |
毕业要求8： 沟通合作（L） |
[8-1]理解学习共同体的作用，具有团队协作的精神。 |
[8-2]掌握沟通合作的技能，具有一定的沟通合作能力，能够与学校领导、同事、学生、家长等开展顺畅的交流互动。 |
[8-3]具有小组互助、合作学习的体验，并能够在教学实践中加以应用。 |
（三）课程学习内容与课程目标的关系
课程内容 |
教学方法 |
支撑的课程目标 |
学时安排 |
第一章 |
讲授法、总结归纳式教学法 |
课程目标1、2、3 |
8 |
第二章 |
讲授法、问题导向法、类比式教学法 |
课程目标1、2、3 |
10 |
第三章 |
讲授法、问题导向法、类比式教学法 |
课程目标2、3 |
12 |
第四章 |
讲授法、问题导向法、类比式教学法 |
课程目标2、3 |
12 |
第五章 |
讲授法、问题导向法、类比式教学法 |
课程目标2、3 |
10 |
第六章 |
讲授法、问题导向法、讨论式教学法 |
课程目标2、3、4 |
12 |
合计 |
64 |
六、教学内容安排
第1章 复数与复变函数(8学时)
【教学目的与要求】
通过本章的教学使学生初步使学生初步掌握并熟悉复平面的基础知识和复函数的概念，掌握区域和复数的各种表示方法及其运算，了解复球面的建立与球极投影，和复变函数的定义与二元实函数的关系．
1．掌握复数各种表示方法及其运算；
2．了解区域的概念；
3．了解复球面与无穷远点；
4．．理解复变函数概念．
【教学重点】
复数的运算，曲线与区域的复数表示．
【教学难点】
区域、光滑曲线的概念，复数辐角的主值的确定．
【教学方法】
讲授、讨论，多媒体．
【教学内容】
1．复数
复数域、复平面；复数的模与辐角；乘幂、方根、共轭复数．
2．复平面上点集
平面点集的几个基本概念；区域、约当曲线．
3．复变函数
复变函数；复极限、复连续．
4．复球面和无穷远点
复球面；扩充复平面上的几个概念．
【课后思考】
一个复数的实部和虚部是否唯一确定？又其模式否唯一确定？复数0的辐角是否确定？为什么？
如何应用复数的代数式进行四则运算？要注意什么？
第2章 解析函数(10学时)
【教学目的与要求】
1．理解复变函数可导与解析的概念，弄清这两个概念之间的关系；
2．熟练掌握解析函数的C－R方程，能运用C－R方程判定函数的解析性；
3．熟练掌握和运用解析函数的求导与求导公式；
4．熟练掌握指数函数、幂函数、三角函数的定义和基本性质以及简单映射性质．并会运用欧拉公式和复数的指数表示；
5．掌握各初等多值函数的定义和基本性质，了解其多值性．
【教学重点】
解析函数的概念及充要条件，初等函数的性质．
【教学难点】
可导与解析的关系，函数可导与解析的判断，多值函数的支点、支割线及单值解析分支的确定．
【教学方法】
讲授、讨论，多媒体．
【教学内容】
1．解析函数的概念与C－R方程
复导数、复微分；解析函数；C－R方程．
2．初等解析函数
指数函数；三角函数；双曲函数．
3．初等多值函数
根式函数；对数函数；一般幂函数；一般指数函数．
【课后思考】
复变函数
在一点可导与一点解析是否相同？为什么？
能否说实部与虚部满足C-R方程的复变函数是解析函数？
若实部的共轭调和函数是虚部，则虚部的共轭调和函数是什么？
第3章 复变函数的积分(12学时)
【教学目的与要求】
复积分理论是复变函数的核心内容，是研究解析函数的一个重要工具．通过这一章的学习，要求学生：
1．掌握复变函数沿一条逐段光滑曲线积分的定义，基本性质和计算方法，及其与实函数积分的关系；
2．熟练掌握柯西积分定理，能证明柯西积分定理；
3．理解解析函数在单连通区域内的不定积分概念；
4．熟练掌握和运用柯西积公式与高阶导数公式；
5．掌握柯西不等式、刘维尔定理、最大模原理，并能应用它们做一些较简单的证明题；
6．了解摩勒拉定理．
【教学重点】
柯西定理、柯西公式，复积分的各种计算方法，刘维尔定理，解析函数的积分与微分的性质．
【教学难点】
利用本章的几个定理计算积分或证明某些结论．
【教学方法】
讲授、讨论，多媒体．
【教学内容】
1．复积分的概念性质
复积分的定义；复积分的计算；复积分的基本性质．
2．Cauchy积分定理
Cauchy积分定理；不定积分；Cauchy积分定理的推广．
3．Cauchy积分公式及推论
Cauchy积分公式；解析函数的无穷可微性；刘维尔定理．
解析函数与调和函数的关系
【课后思考】
复变函数积分和实平面积分有什么不同？又有什么联系？
柯西积分定理的条件和结论是什么？复合闭路定理的条件和结论又是什么？如何证明？
柯西积分定理和柯西积分公式有什么联系？
第4章 解析函数的幂级数表示(12学时)
【教学目的与要求】
1．理解复级数的敛散性定义与充要条件及其收敛准则和绝对收敛与条件收敛的概念，理解复函数项级数，一致收敛性和内闭一致性的概念及其之间的关系，会使用复函数项级数的维氏定理判断复函数项级数的一致收敛性；
2．掌握Abel定理，收敛半径及其求法，了解幂级数在收敛圆周上的敛散情况；
3．深刻理解泰勒定理，了解幂级数的和函数在收敛圆周上的解析性，熟练掌握解析函数的泰勒展开式的求法；
4．深刻理解解析函数零点的孤立性，唯一性定理，最大模原理，熟练掌握使用工具研究解析函数的方法；
【教学重点】
泰勒定理，解析函数的幂级数展开方法、解析函数零点的孤立性定理与解唯一性定理．
【教学难点】
解析函数的幂级数展开方法、利用唯一性定理证明一些结论．
【教学方法】
讲授、讨论，多媒体．
【教学内容】
1．复级数的基本性质
复数项级数；一致收敛的复函数项级数；解析函数项级数．
2．幂级数
幂级数的收敛性；收敛半径；和函数的解析性．
3．解析函数的Taylor展式
Taylor定理； 幂级数的和函数在收敛圆的状况．
4．解析函数的零点，唯一性定理
解析函数零点的孤立性；唯一性定理．
【课后思考】
幂级数的和函数在其收敛圆周的内部是否有奇点？在收敛圆周上是否处处收敛？和函数在收敛点上是否解析？
复变函数是否均可展为幂级数？
第5章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点（10学时）
【教学目的与要求】
1．了解双边幂级数及其收敛性，深刻理解洛朗展开定理，掌握解析函数的洛朗级数的求法；
2．了解解析函数的孤立奇点的概念与分类法，理解孤立奇点的特征，熟练掌握孤立奇点的判定方法；
3．了解无穷远点为孤立奇点的定义与分类及其特征以及基本判定方法；
4．了解整函数与亚纯函数的概念，以及常见的整函数与亚纯函数及其特征．
【教学重点】
洛朗定理，将函数展成洛朗级数、孤立奇点类型的判定．
【教学难点】
洛朗定理，将函数展成洛朗级数、孤立奇点类型的判定．
【教学方法】
讲授、讨论，多媒体．
【教学内容】
1．解析函数的洛朗展式
双边幂级数，洛朗展式；解析函数在孤立奇点去心邻域的洛朗展式．
2．解析函数的孤立奇点
孤立奇点的三种类型；可去奇点；极点；本质奇点．
3．解析函数的无穷远点的性质
4．整函数、亚纯函数
【课后思考】
解析函数孤立奇点的分类及如何判定？
怎么样将函数展成洛朗级数？
第6章 留数理论及其应用(12学时)
【教学目的与要求】
1．理解有限孤立奇点处的留数，留数定理以及扩充复平面上的留数定理，了解无穷远点的留数概念，熟练掌握留数的基本计算方法；
2．了解约当引理，掌握应用留数定理计算四种实积分的方法；
3．理解辐角原理，儒歇定理及其证明方法，掌握应用辐角原理，儒歇定理这些工具来研究函数的零点与极点个数等性质的方法．
【教学重点】
应用留数计算复积分和某些实积分、儒歇定理的应用．
【教学难点】
留数的计算，应用留数计算实积分．
【教学方法】
讲授、讨论，多媒体．
【教学内容】
1．留数
留数的定义，留数的定理，留数的求法．
2．用留数计算实积分
3．辐角原理及应用
对数留数；辐角原理；Ruché定理．
【课后思考】
何为函数在孤立奇点的留数？孤立奇点的分类对于计算留数的作用是什么？
如何计算函数在极点和本性奇点处的留数？
留数定理的内容是什么？其证明依据是什么？怎样应用留数定理来计算积分？
*第7章 共形映射
【教学目的与要求】
1．了解解析变换的保域定理，理解解析变换的保角性(导数的几何意义)和单叶解析函数的共形性；
2．了解分式线性变换及其分解，理解分式线性变换的共形性，保交比性，保圆周性，保对称点性；
3．理解幂函数，根式函数，指数函数与对数函数的共形性，掌握圆弧构成的两角形区域的共形映射及其构造方法．
【教学重点】
单叶函数的性质；分式线性函数及两个特例、几个初等函数的映射性质；最大模原理与黎曼定理．
【教学难点】
以分式线性变换为主的复合函数的映射．
【教学方法】
讲授、讨论，多媒体．
【教学内容】
1．解析变换的特性
2．线性变换
保形性；保交比性；保圆性；保对称点性．
3．某些初等函数构成的共形映射
4．关于共形映射的黎曼定理和边界对应定理
*第8章 解析延拓
【教学目的与要求】
本章进一步研究解析西数的内在联系讨论已知区域内解析函数定义域的扩大问题，也就是解析开拓问题．
1．掌握两个具体的解析开拓的方法—幂级数开拓与对称原理；
2．了解黎曼面与完全解析函数的概念单值性定理与多角形映射公式．
【教学重点】
解析开拓的两种方法
【教学难点】
多值解析函数及黎曼面
【教学方法】
讲授、讨论，多媒体．
【教学内容】
1．解析延拓的概念与幂级数延拓
解析延拓的概念；解析延拓的幂级数方法．
2．透弧解析延拓、对称原理
透弧直接解析延拓；黎曼-施瓦茨对称原理．
3．完全解析函数及黎曼面的概念
完全解析函数；单值性定理；黎曼面的概念．
*第9章 调和函数
【教学目的与要求】
调和函致是一类特殊的二元实函数，它与解析函数有着密切的关系，且有一些类似的性质．通过本章的学习，要求对这部分内容有初步的了解，为以后的学习做一些必要的准备．
【教学重点】
调和函数与解析函数关系，泊松公式、极值原理．
【教学难点】
狄利克雷问题．
【教学方法】
讲授、讨论，多媒体．
【教学内容】
平均值定理与极值原理；泊松公式与狄利克雷问题
七、考核方式及成绩评定
（一）考核方式与课程目标的关系
课程目标 |
考核内容 |
所属章节 |
占比 |
考核方式 |
评价依据 |
1. 通过本课程的学习，让学生感受复数、复变函数和解析函数的基本概念、基本性质，初步掌握复平面与实平面的联系，应用复分析的思想来解决实际问题，日后在教学一线发挥积极作用。 |
1. 复数的概念和运算； 2. 复变函数的概念和性质以及复平面的性质 |
第1、2章 |
30% |
平时作业 |
作业成绩 |
10% |
期中考核 |
考核成绩 |
60% |
期末考核 |
考核成绩 |
2. 使学生系统掌握复变函数的基本性质和基本运算，会应用C-R方程来判断和构造解析函数，同时要正确理解解析函数和实函数在微分、积分和级数中的联系，会用不同的方法来计算不同的积分，从而提高学习兴趣，为今后从事数学教学工作奠定良好的基础。 |
1. 复数的概念和运算； 2. 复变函数的概念和基本性质； 3.解析函数的概念和判别方法； 4. 复变函数的积分； 5. 复变函数的级数展式； 6. 留数的概念以及利用留数计算积分。 |
第1-6章 |
30% |
平时作业 |
作业成绩 |
10% |
期中考核 |
考核成绩 |
60% |
期末考核 |
考核成绩 |
3. 培养和提高学生的思维能力，掌握解析函数的各种不同的判别方法，以及在计算复积分和实积分时各种不同的新方法，要学会自己独立类比和总结，从而分析教材的重点和难点，能够在学习完教学内容后以论文的形式总结和概括复变函数的基本内容。 |
1. 如何判别一个复变函数是解析函数以及如何构造一个解析函数？ 2. 复周线上积分的各种计算方法以及适用条件； 3. 洛朗级数的展式； 4. 孤立奇点的类型及判别； 5. 如何用复数方法求解实积分。 |
第2-6章 |
30% |
平时作业 |
作业成绩 |
10% |
期中考核 |
考核成绩 |
60% |
期末考核 |
考核成绩 |
4. 让学生理解学习共同体的作用，要培养团队合作能力，给学生提供小组学习与讨论的机会，加强课堂上学生与老师之间的交流。 |
如何用复数的方法求解实积分 |
第6章 |
30% |
平时作业 |
作业成绩 |
10% |
期中考核 |
考核成绩 |
60% |
期末考核 |
考核成绩 |
课程目标 |
考核方式及成绩比例（%） |
合计 |
|
平时成绩 |
期中考试 |
期末考试 |
课程目标1 |
3 |
1 |
6 |
10 |
课程目标2 |
12 |
4 |
24 |
40 |
课程目标3 |
12 |
4 |
24 |
40 |
课程目标4 |
3 |
1 |
6 |
10 |
合计 |
30 |
10 |
60 |
100 |
（二）成绩评定
1. 考核方式
本课程考核方式分为过程考核（平时考核、期中考核）和课终考核（期末考核），将终结性评价与形成性评价相结合。过程考核包括出勤和平时作业以及期中考核；课终考核采用期末闭卷考试的形式。
2. 总成绩评定
总成绩=平时成绩*30%+期中成绩*10%+期末成绩*60%
3. 平时成绩评定（100分）
（1）出勤（10分）
（4）作业（90分）：通过学生的作业，考查学生对复变函数的基本内容和方法的系统掌握程度，考查学生对复变函数的微分、积分和级数的理解能力和应用能力。
4. 期中成绩评定（100分）
期中考试主要考查学生对复数和复变函数的概念和运算，同时考核学生对于解析函数的判定和构造。
4. 课终成绩（期末成绩）评定（100分）
期末考试主要考察学生对解析函数的基本概念、性质和相应的运算等的理解与掌握情况，以及运用相关理论知识分析和解决实际应用中的常见问题的能力。
