数学分析Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ

课程编号：0701010101

课程基本情况：

1.课程名称：数学分析Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ

2.英文名称：Mathematical AnalysisⅠ、Ⅱ、Ⅲ

3.课程属性：专业必修课

4.学  分：14   总学时：220

5.适用专业：数学与应用数学

6.先修课程：

7.考核形式：考试

一、本课程的性质、地位和作用

课程性质：数学分析是数学与应用数学专业重要的专业基础课。

课程的地位和意义：数学分析是数学与应用数学专业的一门基础课程，该课程的教学直接影响后续课程的学习。通过本课程的教学使学生掌握数学分析最基本的知识和严格的逻辑思维能力与推理论证能力以及熟练的计算能力；这不但能使学生较熟练解决实际中的一些问题，而且为后期课程的学习奠定坚实的基础。

二、教学目的与要求

通过系统的学习与严格的训练，使学生对极限思想和方法有较深入的认识，对具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系有一定的了解，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并且用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。

三、课程教学内容及学时安排

按照教学方案安排，本课程安排在第1，2，3学期讲授，全学程共220学时，其中课内讲授167学时，习题课53学时，具体讲授内容及学时安排见下表：

《数学分析Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ》教学内容及学时分配表

四、参考教材与书目

1.参考教材

华东师范大学数学科学学院． 数学分析(上、下册)． 第五版．北京：高等教育出版社，2019.5

2.参考书目

陈纪修，於崇华，金路．数学分析(上册)．北京：高等教育出版社，1999.9

陈纪修，於崇华，金路．数学分析(下册)．北京：高等教育出版社，2000.4

裴礼文．数学分析中的典型问题与方法．北京：高等教育出版社，2006.4

钱吉林．数学分析题解精粹．武汉：崇文书局，2009.9

五、课程目标

（一）课程具体目标

课程目标1：使学生系统掌握数学分析的基本原理和方法，能运用数学分析的有关理论和方法研究函数等对象的性质和量的变化规律；对数学中函数的性质的一般规律性能从理论上给与更深刻、更本质的理解和说明。[支撑毕业要求3]

课程目标2：培养学生理论思维能力，掌握数学分析的一般研究方法与特有研究方法，增强他们在工作、科学研究中提出问题、分析问题与解决问题的能力；同时拓展思路、丰富想象，培养学生敢于探索、勇于创新的精神。[支撑毕业要求2]

课程目标3：通过本课程的学习，让学生感受数学分析知识在中小学教学过程中的重要性，启迪学习智慧，提高终身学习兴趣，为今后从事中小学数学教学工作奠定良好的基础。[支撑毕业要求4]

课程目标4：在学习数学分析过程中，培养学生逐步理解学科的育人价值，具备团队精神和合作交流意识；树立正确的人生观和价值观，今后在中小学数学教学一线发挥积极作用。[支撑毕业要求6]

（二）课程目标与专业毕业要求的关系

（三）课程学习内容与课程目标的关系

六、教学内容安排

第1章  实数集与函数(6学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生熟练掌握实数的基本性质和确界原理，建立实数集确界清晰概念；使学生深刻理解函数的概念，熟练掌握与函数性态有关的一些常见术语。

【教学重点】

实数集、确界、函数的概念及其有关性质

【教学难点】

确界的定义及其应用

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

1. 实数

实数及其性质，绝对值与不等式。

2. 数集、确界原理

区间与邻域，有界集，确界原理。

3, 函数概念

函数的定义，函数的表示，函数的四则运算，复合函数，反函数，初等函数。

4. 具有某些特性的函数

有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数。

第2章  数列极限(10学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生建立起数列极限的准确概念，熟悉收敛数列的性质；使学生正确理解数列收敛的判别法以及求解收敛数列极限的常用方法，会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。

【教学重点】

数列极限的概念

【教学难点】

数列极限的定义及其应用

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

1. 数列极限的概念

数列极限，无穷小数列。

2. 收敛数列的性质

收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保不等式性、迫敛性以及四则运算法则。

3. 数列极限存在的条件

单调数列，单调有界定理、柯西收敛准则。

第3章  函数极限(12学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质；理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性；掌握两个重要极限和，并能熟练运用；理解无穷小(大)量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。

【教学重点】

函数极限的概念、性质及其计算

【教学难点】

柯西准则和海涅定理的运用

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

1. 函数极限概念

时函数的极限、时函数的极限。

2. 函数极限的性质

函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性、迫敛性以及四则运算法则。

3. 函数极限存在的条件

归结原则(海涅定理)和柯西准则。

4. 重要的极限

两个重要极限和。

5. 无穷小量与无穷大量

无穷小量、无穷小量阶的比较，无穷大量、曲线的渐近线。

第4章  函数的连续性(10学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念；熟悉连续函数的性质并能灵活运用；知道所有初等函数都是在其定义区间上的连续函数，并能加以证明。

【教学重点】

函数连续性、一致连续性的概念和闭区间上连续函数的性质

【教学难点】

一致连续性、连续性的应用

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

1. 连续性概念

函数在一点的连续性，间断点及其分类，区间上的连续函数。

2. 连续函数的性质

连续函数的局部性质，区间上连续函数的基本性质，反函数的连续性质，一致连续性的概念、性质，一致连续与连续的关系，一致连续的应用。

3. 初等函数的连续性

指数函数的连续性，初等函数的连续性。

第5章  导数和微分(10学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生准确掌握导数与微分的概念，明确其物理、几何意义，能从定义出发求出一些简单函数的导数与微分；弄清楚函数可导与可微之间的一致性及其相互联系，熟悉导数与微分的运算性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式与微分公式，并熟练地进行初等函数的微分运算；能利用导数与微分的意义解决某些实际应用的计算问题。

【教学重点】

导数与微分的概念及其计算

【教学难点】

求复合函数的导数

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

1. 导数概念

2. 求导法则

导数的四则运算、反函数的导数、复合函数的导数、基本初等函数导数公式。

3. 参变量函数的导数

4. 高阶导数

5. 微分

微分的概念、微分的运算法则、高阶微分。

第6章  微分中值定理及其应用(12学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的基础；熟练掌握洛必达法则，会正确应用它求某些不定式的极限；掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题．使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象；会求函数的最大、最小值。

【教学重点】

中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数的单调性、极限、与凹凸性

【教学难点】

用辅助函数解决问题的方法

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

1. 拉格朗日中值定理和函数的单调性

2. 柯西中值定理和不定式极限

3. 泰勒公式

4 函数的极值与最大(小)值

5. 凸性与拐点

6. 函数图象的讨论

第7章  实数的完备性(10学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生掌握实数完备性的六个基本定理，能准确地加以表述，深刻理解其实质意义，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关的命题。

【教学重点】

实数完备性的基本定理

【教学难点】

实数完备性基本定理的证明和应用

【教学方法】

讲授、讨论、多媒体

【教学内容】

1. 关于实数集完备性的基本定理

区间套定理与柯西收敛准则、聚点定理与有限覆盖定理、实数完备性基本定理的等价性。

2. 区间上连续函数性质的证明

有界性定理、最大(小)值定理、介值性定理以及一致连续性定理。

3. 上极限和下极限

第8章  不定积分(16学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生明确认识和理解积分是微分的逆运算，深刻理解不定积分的概念，记住不定积分与原函数的的关系；在掌握基本积分表的基础上熟练掌握不定积分的计算方法。

【教学重点】

不定积分的基本概念与计算

【教学难点】

不定积分的换元积分法和分部积分法

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

1. 不定积分的基本概念与基本积分公式

原函数与不定积分、基本积分表。

2. 换元积分法与分部积分法

第一类换元积分法、第二类换元积分法、分部积分法。

3. 有理函数和可化为有理函数的不定积分

有理函数的不定积分、三角函数有理式的不定积分、某些无理根式的不定积分。

第9章  定积分(14学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生理解定积分的概念、定义，熟悉可积条件；掌握定积分的性质和微积分学基本定理、并会运用换元积分法、分部积分法计算有关的定积分。

【教学重点】

定积分的基本概念、性质、微积分学基本定理以及牛顿---莱布尼兹公式

【教学难点】

可积条件

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

1. 定积分的概念

2. 牛顿---莱布尼兹公式

3. 可积条件

可积的必要条件、可积的充要条件、可积函数类。

4. 定积分的性质

定积分的基本性质、积分中值定理。

5. 微积分学基本定理·定积分计算(续)

变限积分与原函数的存在性、换元积分法与分部积分法、泰勒公式的积分型余项。

第10章  定积分的应用(10学时)

【教学目的与要求】

本章教学的目的与要求是使学生在理解定积分的基础上掌握平面图形的面积计算方法；理解并掌握由截面面积函数求立体体积的计算方法；理解并掌握曲线弧长的计算方法；理解并掌握用微元法求旋转曲面面积的方法；了解定积分在物理中的某些应用。

【教学重点】

平面图形的面积

【教学难点】

旋转体的体积

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

1. 平面图形的面积

2. 由平行截面面积求体积

3. 平面曲线的弧长与曲率

4. 旋转曲面的面积

5. 微元法、旋转曲面的面积

6. 定积分在物理上的某些应用

液体的压力、引力、功与平均功率。

第11章  反常积分(12学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生深刻理解反常积分的概念，熟练掌握无穷限非正常积分和无界函数非正常积分的性质与收敛判别法。

【教学重点】

反常积分的概念与性质

【教学难点】

非正常积分敛散性的判别

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

1. 反常积分概念

2. 无穷积分的性质与收敛判别

3. 瑕积分的性质与收敛判别法

第12章  数项级数(12学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生明确认识级数是研究函数的一个重要工具；明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。

【教学重点】

级数的基本概念与性质，正项级数敛散性的判别法

【教学难点】

一般项级数敛散性的判别法

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

1. 级数的收敛性

级数的收敛性概念和性质、级数收敛的柯西收敛准则。

2. 正项级数

正项级数收敛性的一般判别法(比较判别法、比式判别法、积分判别法)。

3. 一般项级数

交错级数、绝对收敛级数及其性质、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法。

第13章 函数列和函数项级数（12课时）

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生理解怎样用函数列(或函数项级数)来表示一个函数；掌握如何利用函数列(或函数项级数)来研究被它表示的函数的性质．

【教学重点】

函数列一致收敛的概念、性质

【教学难点】

一致收敛的概念、判别和应用

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

1. 一致连续性

函数列及其一致收敛性，函数项级数及其一致收敛性，函数项级数的一致收敛性判别法。

2. 一致收敛函数列与函数项级数的性质

连续性、可积性、可导性。

第14章  幂级数(10学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生理解幂级数的有关概念，掌握其收敛性的有关问题；理解幂级数的运算，掌握函数的幂级数展开式并认识余项在确定函数能否展为幂级数时的重要性。

【教学重点】

幂级数的收敛区间、收敛半径、收敛域及其展开式

【教学难点】

收敛区间端点处敛散性的判别

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

1. 幂级数

幂级数的收敛区间，幂级数的性质，幂级数的运算。

2. 函数的幂级数展开

泰勒级数，初等函数的幂级数展开式。

第15章  傅里叶级数(10学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生理解以为周期的函数的傅里叶级数的有关概念；明确以为周期的函数的傅里叶级数是为周期的函数的傅里叶级数的推广，并理解奇、偶函数的傅里叶级数。

【教学重点】

将一个函数展成傅里叶级数

【教学难点】

傅里叶级数收敛的判别

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

1. 傅里叶级数

三角级数、正交函数系、以为周期的函数的傅里叶级数、收敛定理。

2. 以为周期的函数的展开式

以为周期的函数的傅里叶级数、奇函数与偶函数的傅里叶级数。

3.收敛定理的证明

第16章  多元函数的极限与连续(14学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生明确认识多元函数与一元函数的相同和不同之处，进而掌握多元函数研究的方法和特点；明确研究多元函数的目的及其用途。

【教学重点】

平面点集的有关概念与二元函数的连续性

【教学难点】

 二元函数极限的证明

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

1. 平面点集与多元函数

2. 二元函数的极限

二元函数的重极限、累次极限。

3. 二元函数的连续性

二元函数的连续性概念、有界闭域上连续函数的性质。

第17章  多元函数微分学(16学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续之间关系；掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。

【教学重点】

全微分的概念、偏导数的计算及其应用

【教学难点】

复合函数偏导数的计算

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

1. 可微性

可微性与全微分，偏导数，可微性条件，可微性几何意义及应用。

2. 复合函数微分法

复合函数的求导法则，复合函数的全微分。

3. 方向导数与梯度

第18章  隐函数定理及其应用(12学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生理解隐函数(组)定理的有关概念及隐函数存在的条件，进而会求隐函数(组)的导数。

【教学重点】

隐函数定理

【教学难点】

隐函数定理的应用

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

1. 隐函数

隐函数概念，隐函数存在性条件的分析，隐函数定理，隐函数求导举例。

2. 隐函数组

隐函数组概念，隐函数组定理，反函数组与坐标变换。

3. 几何应用

平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与法线，空间曲面的切平面与法线。

第19章  含参量积分(12学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学，使学生掌握含参量正常积分的概念、性质及计算方法；掌握两种含参量反常积分的概念、性质及计算方法；掌握欧拉积分的形式及有关计算。

【教学重点】

含参量积分的性质

【教学难点】

含参量反常积分一致收敛性的判定

【教学方法】

讲授、讨论，多媒体

【教学内容】

1. 含参量正常积分

含参量正常积分的连续性、可积性、可微性。

2. 含参量反常积分

一致收敛性及其判别法、含参量反常积分的性质。

3. 欧拉积分

G－函数、B－函数、G－函数与B－函数之间的关系。

七、考核方式及成绩评定

（一）考核方式与课程目标的关系

（二）成绩评定

1. 考核方式

本课程考核方式分为平时过程考核、期中测验和期末考试，将终结性评价与形成性评价相结合。平时过程考核包括出勤、作业、笔记；期中测验采用闭卷考试的形式；期末考试采用闭卷考试的形式。

2. 总成绩评定

总成绩=平时成绩*30%+期中成绩*10%+期末成绩*60%

3. 平时成绩评定（100分）

（1）出勤（30%）通过学生的课堂出勤情况进行考核。

（2）作业（40%）通过学生的作业，考察学生对数学分析的基本原理和方法的系统掌握程度，运用有关理论和方法研究函数的性质和量的变化规律的能力，以及从理论上给与函数性质更深刻、更本质的说明的能力。

（3）笔记（30%）：通过学生的课堂笔记检查情况，了解学生对数学分析相关知识的理解情况，培养学生学习数学时记笔记以及整理思路的好习惯，提高课堂学习效率。

4. 期中测验成绩评定（100分）

期中测验主要考查学生对数学分析的基本知识、规律和相关理论等的阶段性理解与掌握情况。

5. 期末考试成绩评定（100分）

期末考试主要考查学生对数学分析的基本知识、规律和相关理论等的理解与掌握情况，考查运用相关理论知识分析实际应用中的常见问题的能力。