实变函数

课程编号：0701010112

课程基本情况：

1.课程名称：实变函数

2.英文名称：Real Variable Function

3.课程属性：专业必修课

4.学  分： 3   总学时：48

5.适用专业：数学与应用数学

6.先修课程：数学分析

7.考核形式：考试

一、本课程的性质、地位和作用

实变函数是数学专业重要的分析基础课之一，它是数学分析的延续和发展，它的核心内容是Lebesgue积分理论，Lebesgue积分理论是近代积分论中最重要的一种积分，讨论这种积分不仅是为了推广数学分析中的Riemann积分，而且是由于它本身在数学思想上的先进性和在运算上的灵活性，其中的一些概念和理论是学习近现代数学所必需的．学习实变函数可以为进一步学习泛函分析、测度论、概率论、拓扑学等后继课程打下良好的基础．

二、教学目的与要求

1．教学目的

通过本课程的学习，使学生掌握实变函数论中的基本概念、重要理论和重要方法．系统掌握Lebesgue测度和Lebesgue 积分理论，使学生能够以更高的视角认识积分与微分，加深对数学分析及中学数学有关内容的理解．进一步提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生抽象思维和分析论证能力，从而使学生了解近现代抽象分析的基本思想．

2．教学要求

要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论及其基本论证方法．通过课程教学及习题训练等教学环节，使学生做到概念清晰、推理严密，对Lebesgue积分理论和Riemann积分有更深刻的认识．了解和掌握逐步深入地分析问题和解决问题的方法，提高分析问题和解决问题的能力，培养抽象的思维能力，为进一步钻研现代数学数学理论打下基础.

三、课程教学内容及学时安排

按照教学方案安排，本课程安排在第6学期讲授，全学程共48学时，其中课内讲授39学时，习题课9学时，具体讲授内容及学时安排见下表：

《实变函数》教学内容及学时分配表

四、参考教材与书目

1．参考教材

[1] 程其襄，张奠宙，魏国强．实变函数与泛函分析基础．第四版．北京：高等教育出版社，2019

2．参考书目

[1] 江泽坚，吴智泉．实变函数论. 第二版．北京：高等教育出版社，2007

[2] 郑维行，王声望．实变函数与泛函分析概要．第三版．北京：高等教育出版社,2006

五、课程目标

（一）课程具体目标

课程目标1：理解和掌握实变函数中的基本概念、基本理论和基本论证方法，感受建立勒贝格积分理论体系的思想、方法和发展，逐步培养和训练学生的抽象思维能力、逻辑推理论证能力以及独立分析思考和创新的能力.[支撑毕业要求3、6]

课程目标2：了解实变函数的形成和发展过程，掌握从黎曼积分推广到勒贝格积分的方法，理解黎曼积分与勒贝格积分的联系与区别.了解测度论由特殊到一般，具体到抽象的研究方法.丰富学生发现问题、探索问题、解决问题进而获取新知识的思维方法.引导学生学会正确全面地进行自我反思以及有效的自我学习管理，进而提高学习数学的兴趣，提高应用数学知识解决实际问题的能力与意识.[支撑毕业要求7]

课程目标3：了解实变函数与数学其它分支的联系，增强学生应用数学的信心；感受实变函数之美，体会数学理论在理论和实践中的作用，激发学生对数学以及数学教育的热爱 .[支撑毕业要求2]

（二）课程目标与专业毕业要求的关系

（三）课程学习内容与课程目标的关系

六、教学内容安排

第1章  集合(8学时)

【教学目的与要求】

1．掌握集合的基本运算，掌握集合列的上、下极限的概念及其并交表示，理解单调集合序列的极限；

2．掌握对等和基数的概念，理解基数的大小比较，理解伯恩斯坦定理，能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等；

3．理解可数集合、不可数集合的概念，掌握可数集、基数为c的集合的性质，理解不存在最大基数的结论．

【教学重点】

集合的对等与基数，可数集合和不可数集合．

【教学难点】

集合列上、下极限定义的理解和应用，证明集合对等的方法，可数集合和不可数集合基数的理解．

【教学方法】

讲授、讲练结合、问题导向．

【教学内容】

1. 集合的表示

2. 集合的运算

集合的并集、交集、差集、余集运算，集合列的上极限、下极限，单调集列

3. 对等与基数

一一映射，对等，基数，伯恩斯坦定理

4. 可数集合

可数集合的概念、性质，常见的可数集

5. 不可数集合

不可数集合的概念，基数为的集合性质，常见的基数为集合，不存在最大基数定理

第2章 点集(10学时)

【教学目的与要求】

1．掌握度量空间的定义和例子，理解邻域、收敛、点集的直径、两个集合的距离、有界集的概念；

2．理解内点、外点、界点的概念，理解聚点、边界点和孤立点的概念，理解聚点的等价描述，掌握开核、边界、导集、闭包的定义和性质；

3．掌握开集、闭集、自密集、完备集的定义和性质，掌握开集、闭集的证明方法；

4．掌握构成区间、直线上开集的构造定理，掌握邻接区间、直线上闭集的构造定理，掌握直线上完备集的构造，掌握Cantor集合的构造和性质．

【教学重点】

欧式空间中的内点、外点、界点、聚点、孤立点、开集、闭集、完备集等基本概念，直线上开集、闭集的构造，Cantor集合的构造和基本性质．

【教学难点】

开集、闭集的证明，Cantor集合的构造和基本性质．

【教学方法】

讲授、问题导向．

【教学内容】

1. 度量空间，n维欧氏空间

   度量空间，n维欧氏空间，邻域，点到集合的距离，两集合之间的距离，区间

2. 聚点，内点，界点

   内点、外点、界点、聚点、孤立点、开核、导集、闭包、边界

3. 开集，闭集，完备集

   开集、闭集、紧集、完备集，开集与闭集的对偶性，海涅-博雷尔有限覆盖定理

4. 直线上的开集、闭集、完备集的构造

   构成区间、余区间，直线上开集、闭集、完备集的构造

   5. 康托尔三分集

   康托尔三分集的构造、性质

   第3章 测度论(8学时)

   【教学目的与要求】

   1．掌握外测度的概念、性质；

   2．掌握Lebesgue可测集的定义，Lebesgue可测集的性质；

   3. 掌握常见的Lebesgue可测集，理解Lebesgue可测集与博雷尔集的关系；

   4. 了解Lebesgue不可测集的存在性这一结论．

   【教学重点】

   外测度和可测集的概念、外测度的基本性质和Lebesgue可测集的运算性质、可测集以及可测集与博雷尔集的关系．

   【教学难点】

   可测集合的概念、可测集与博雷尔集的关系．

   【教学方法】

   讲授、讲练结合．

   【教学内容】

5. 外测度

   外测度的概念、性质

6. 可测集

   可测集的概念、性质

   3. 可测集类

   可测集类，可测集与博雷尔集的关系

   第4章 可测函数(10学时)

   【教学目的与要求】

   1．掌握Lebesgue可测函数的概念，掌握Lebesgue可测函数的性质，掌握可测函数与简单函数的关系，理解几乎处处的概念；

   2．掌握叶果洛夫定理，了解定理的证明；

   3．掌握鲁津定理，理解鲁津定理的另一形式，理解鲁津定理的逆定理；

   4．掌握依测度收敛的概念，理解并会应用里斯定理，掌握并会应用Lebesgue定理，弄清可测函数列的几种不同类型收敛性之间的内在联系．

   【教学重点】

   可测函数的概念及性质，依测度收敛概念，叶果洛夫定理、鲁津定理，里斯定理，勒贝格定理．

   【教学难点】

   叶果洛夫定理、鲁津定理、里斯定理、Lebesgue定理的理解与证明，依测度收敛概念．

   【教学方法】

   讲授、问题导向、讲练结合.

   【教学内容】

7. 可测函数及其性质

   可测函数的概念及充要条件，可测函数的性质，可测函数与简单函数的关系

8. 叶果洛夫定理

   几乎处处收敛，一致收敛，叶果洛夫定理

9. 可测函数的构造

   鲁津定理，可测函数与连续函数的关系

10. 依测度收敛

    依测度收敛的概念，里斯定理，勒贝格定理

    第5章 勒贝格积分(12学时)

    【教学目的与要求】

    1．理解黎曼(Riemann)可积的充要条件是被积函数几乎处处连续；

    2．理解勒贝格(Lebesgue)积分的定义及其建立过程；

    3．掌握非负简单函数勒贝格积分的概念和性质、非负可测函数勒贝格积分的概念和性质，掌握一般可测集上可测函数的勒贝格积分的概念和性质；

    4．掌握Lebesgue控制收敛定理及其推论，掌握Levi定理，掌握积分的可数可加性，掌握Fatou引理，会应用积分的极限定理；

    5．理解L积分与R积分的关系；

    6．理解直积、截面的定义，理解直积、截面的性质，理解截面定理，掌握非负可测函数积分的几何意义，掌握富比尼(Fubini)定理；

    【教学重点】

    非负简单函数、非负可测函数、一般可测函数的勒贝格积分的概念以及性质、勒贝格控制收敛定理、Lebesgue积分与Riemann 积分的关系、Lebesgue积分的几何意义、富比尼定理．

    【教学难点】

    Lebesgue控制收敛定理的应用．

    【教学方法】

    讲授、问题导向、讲练结合．

    【教学内容】

    1．黎曼积分的局限性，勒贝格积分简介

    2．非负简单函数的勒贝格积分

    非负简单函数的勒贝格积分的概念、性质

11. 非负可测函数的勒贝格积分

    非负可测函数的勒贝格积分的概念、性质，Levi定理，Fatou引理

12. 一般可测函数的勒贝格积分

    一般可测函数的勒贝格积分的概念、性质，Lebesgue控制收敛定理

13. 黎曼积分和勒贝格积分

    黎曼积分和勒贝格积分的关系

14. 勒贝格积分的几何意义、富比尼(Fubini)定理

    截面概念，截面定理，下方图形概念，勒贝格积分的几何意义，富比尼定理

    
    

    
    

    
    

    
    

    七、考核方式及成绩评定

    （一）考核方式与课程目标的关系

（二）成绩评定

（1）考核方式

课程考核方式分为平时考核、期中考核和期末考核．平时考核方式包括课堂表现及作业等；期中考核写小论文或期中考试，期末考核采用期末闭卷考试的形式．

（2）总成绩评定

总成绩 = 平时成绩*30% + 期中成绩*10% + 期末成绩*60%

（3）平时成绩评定（100分）

平时成绩（100%）= 课堂表现（30%）+ 平时作业（40%）+ 笔记（30%）

（4）期中成绩评定（100分）

小论文: 黎曼积分和勒贝格积分的区别与联系.

期中考试主要考查学生对集合论和测度论相关理论的理解与掌握情况，以及运用相关理论知识分析、解决问题的能力.

（5）期末成绩评定（100分）

期末考核主要考查学生对集合论、测度论、积分论等基本概念、基本理论和重要论证方法的掌握情况，以及运用相关理论知识分析、解决问题的能力．