数学分析的复习:
数学分析有以下几大板块：实数完备性理论，极限理论，单变量连续性，单变量微分学，单变量积分学（包括反常），级数理论（包括函数项级数），多元连续性，多元微分学，多元积分学。各个学校考察的有另外有重点。
极限作为数分的工具，其重要性怎么说也不为过，无论是导数还是定积分或者反常积分，级数等几乎所有数分概念都是通过极限定义的。南开近几年都有极限的计算题。极限的证明可以从以下几条思路出发：ε-δ定义，cauchy准则，单调有界原则，级数（反常积分）收敛的必要性等。极限的计算可以从以下几条思路出发：等价因子代换，洛必达法则，转化为某函数在某点导数，转化为某函数在某区间上的定积分，转化为某收敛级数的和等。
单变量连续性中连续往往比较简单，实际就是一个极限问题，需要注意的是一致连续（如一直连续的几个充分条件），一致连续的实质是函数图线在任意点都不会无穷陡。单变量微分学中要注意几个微分中值定理（注意与实数完备性的联系），泰勒公式（关键在于选取适当的展开点，阶数以及余项形式），凸函数（几个等价定义）等问题。
单变量积分学中首先要对黎曼可积的条件有深刻认识（用实函知识更能说明问题，即黎曼可积的充要条件是不连续点为零可测集），其次注意积分极限（如黎曼引理的证明就很典型），再就是反常积分的敛散性判别（数项级数类似），我曾经编了个顺口溜（不妨叫它《敛散歌》）：“非无穷小定发散，判阶看界寻优级，达郎贝尔救柯西，莱布尼兹嫁阿狄，级数积分本一家。”（注：阿迪是指阿贝尔判别法和狄里克莱判别法，嫁是加的谐音）。
级数理论包括收敛问题（如反常积分收敛，已述）和一致收敛问题。一致收敛包括函数列一致收敛和函数项级数一致收敛，其判别大相径庭。
一致收敛一般可以寻求优级数（或优函数），一种简便的方法上寻找上界级数，上界级数收敛是函数项级数一致收敛的充分条件。特别地，能取到上界即最大值级数收敛与原级数一致收敛是充要的。
多元连续性较一元连续性复杂，但思路极其类似，一元中有的性质多元中也有对应的性质（如闭区间有界性，最值存在性等）。不同的一点在定义多元连续的多元极限是要在某点的一个多维区域里满足ε-δ定义，因此要特别注意单侧极限存在和极限存在的区别与联系。多元微分学主要有两点，一是偏导数，一是taylor公式。对于偏导的计算，一般用链式法则都可以得到结论，使用链式法则时要注意各元之间的制约关系，最好画个树状图。对于taylor公式，和一元类似，关键要注意展开点、阶数、余项形式，由于这块内容比较复杂，很少有学校直接考，但其思想很有可能被考到。另外，由taylor公式也可得出多元函数的介值性、以及其它中值定理，这和一元异曲同工。多元积分学包括重积分、线积分和面积分三类。这部分内容需要搞清楚各类积分的计算方法以及各类积分的转换关系，弄清楚每一类积分的应用背景可以加深对概念和方法的理解。这部分的题目首先要注意对称性，利用对称性化简问题；其次注意转化，可以利用格林公式、高斯公式或斯托克斯公式等进行必要的转换，从而简便运算；最后要注意变换，一般有极坐标变换、柱坐标变换、球坐标变换等，目的依然是简化计算（或者简化被积函数，或者简化被积域），变换后的区域可以利用边界定限。
总之，数学分析的学习一定要注重思想的培养，有很多思想无论对考试有无用处，我觉得既然要选择继续学习数学就应该掌握。数学分析也有人叫无穷小分析，是建立在实数完备的前提之下衍生出来的一个体系，因此极限思想、实数理论总是起着举足轻重的作用。无论是微分学，还是积分学，或者是级数理论，无不都是一个极限过程，实数完备换个思维也是说实数可以是极限过程。从题目的角度，微分学题目的最本质就是实数完备，如果直接考虑微分理论不好做的时候不妨用实数完备的角度去思考；积分实际是一种很特殊的极限，如果直接考虑积分理论不好做的时候也可以想想积分的定义（达布上下和，一般会用到夹逼思想）；级数同样是一种特别的极限，可以将其视为数列或函数的极限。
