高等代数的复习:
高等代数有以下几个板块：多项式、行列式、矩阵、线性方程组、线性空间、线性变换、二次型、λ-矩阵、欧氏空间。多项式部分与初等数学联系比较紧密，需要注意多项式相等、多项式的整除、最大公因式、互素多项式、不可约多项式以及多项式的分解。其中整除和最大公因式比较关键。行列式表示一种特殊的计算方式，关键要搞清楚行列式的计算，一般地有递推降级法、拆分组合法、滚动相消法、加边法、幂级数变换法、逐行（列）相加（减）、利用特征值、利用降级公式、转化为已知行列式（如范德蒙行列式等）。矩阵可以说是高等代数最基本的工具，由于线性变换问题与矩阵问题时对偶问题，二次型问题与矩阵问题也是对偶问题，因此高等代数中很多问题终究可以转化为矩阵问题加以解决。
首先，单纯从矩阵角度需要特别注意的是矩阵几种特殊运算：转置、伴随、逆。转置和伴随都比较简单，而逆这一问题包括可逆判定和逆矩阵求解，可逆判定只需验证行列式是否为零，当然除了直接计算行列式以外，也可以判断是否以零作为其特征值。其次，矩阵乘法规则比较特殊，至于为什么要如此定义，仅仅是因为矩阵这一概念是为了解决先行方程组问题而提出的，若把线性方程组也看成是矩阵方程，那矩阵乘法也就自然地需要用这种不是很好理解的方式定义了（对于矩阵乘法，也有一些其它的定义）。
另外，方便起见，引入了分块矩阵的概念，分块矩阵并无多少特别之处，仅仅是我们耳熟能详的普遍-特殊思想的一个运用罢了。
最后，还有初等矩阵的概念，我们研究问题时，总希望研究对象能够尽可能地简单，初等矩阵则是最简单的矩阵，因此，很多时候我们会试图用这些简单的矩阵来刻画其它复杂的矩阵。
不得不补充的是矩阵的分解，矩阵的分解就是把一个矩阵分解成若干个矩阵的和或者积的形式，顾名思义，矩阵分解一般包括加法分解和乘法分解。矩阵分解的思想是先利用适当方式特殊化，再从特殊入手，最后还原为一般形式。特殊化的思路有等价转换法、相似转换法、合同转换法（仅适用于对称方阵），它们分别把一般矩阵特殊化为等价标准形、jordan标准形、合同标准形。具体的加法分解有：秩1分解，小秩分解，对称反对称分解，对角幂零分解等；乘法分解有：等价分解、相似分解、合同分解、满秩分解、可逆幂零分解、voss分解等。另外一些特殊矩阵有着特殊的分解，如可逆矩阵有qr分解，对陈阵有合同分解，正定阵有幂分解等。
线性方程组是线性代数的主题，也是高等代数个知识点的衔接点，主要包括线性方程组解的判定和解的结构两部分。解的判定只需判断系数矩阵与增广矩阵秩的关系，另外，线性方程组ax=b有解与b可由a的列向量线性表出。解的结构也完全由系数矩阵与增广矩阵的秩相关，此处引入了极大线性无关组的概念，它有三层含义：首先是解，其次相互无关，另外任一组解可由它们线性表出。
线性空间理论包括线性空间概念及其结构。线性空间的定义由公理化体系给出了八条运算规则，因此判定一个集合是否是线性空间也只能逐一验证这八条运算规律。线性空间的结构可以从维数、基、子空间、空间运算等角度去理解，维数刻画了空间的“大小”，基刻画了空间中元素的“形状”，子空间刻画了空间中各个元件的关系，空间运算（交、和、补）则是构造新空间的基本方法。这里需要指出的是，空间运算不像集合运算（交、并、补），这是因为并运算不能保证新集合的完备性，也就是说两空间的并中某些元素进行加法运算后会在并集合之外，而和运算避免了这点，另外和运算也有很多实际原型，并非来的突兀。线性空间的子空间除了保加保数乘以外，还有两个特殊的性质：第一个我把它称作子空间的不完全覆盖性，具体含义是指，任意有限个子空间其并仅仅是原空间的一部分而非整体。例如二维平面空间的任一子空间就是过原点的直线，我们知道任意有限条过原点的直线都无法填满平面。第二个我把它称作补子空间的不唯一性，也就是说任意一个子空间，有一系列空间都可以成为其补子空间。`线性变换是研究线性空间的结构的有力工具，在这块的学习中一定要注意线性空间与矩阵一一对应的关系。首先，线性变换的判定比较简单，只需按部就班地验证即可。其次，我们总是想让线性变换变得简单明了，比较简单的一类是对应矩阵为对角阵的线性变换，这就引发了特征值和特征向量的问题，反过来，特征值和特征向量又对矩阵或者说线性变换的对角化的研究相当重要。这里只是说明矩阵可对角化的一些条件：有互异特征值是可对角化的充分条件，有完备的特征向量是可对角化的充要条件，零化多项式无重根是可对角化的充分条件，特征多项式无重根是可对角化的充要条件，最小多项式无重根是可对角化的充要条件。最后，要指出的是，线性变换的概念引出之后又有了一类特殊的空间，即不变子空间。不变子空间不仅要求是一个子空间，另外必须相对于线性变换来说要不变。常见的不变子空间有特征子空间、值域和核。特征子空间实际是一个其次线性方程组的解空间，这里需要注意一个矩阵的代数重数不会超过其几个重数。值域与核是两个非常重要的不变子空间，不仅要掌握它们各自基与维数的求法，还要理解其实际意义。值域与核对于一些空间分解也很有帮助。
二次型是高等代数中比较特殊的一部分，它源于对曲面变换的研究，也要注意二次型问题与矩阵问题的对偶性。对于对称方阵，我们有了一类特殊的变换，即合同变换。首先，对于具体二次型的正定性的判定，乃至求二次型的正负惯性指数，低阶的可以直接计算，对于高阶的可以求其特征值，进而判断正负特征值的个数。其次，对于抽象二次型正定性的判定，并没有以不变应万变的方法，但一般可以从以下两个思路出发：利用合同变换转化为简单矩阵或者利用二次型特殊性质。另外，一个二次型正定有很多等价条件。最后，需要特别注意二次型的标准形与规范形的求解，其结果与数域相关。
λ-矩阵的研究的根本目的是研究矩阵结构，我们总是希望矩阵能在某种意义下简单化，而矩阵相似理论告诉我们任意一个矩阵在相似关系下都有jordan标准形。λ-矩阵不同于一般的矩阵（数字矩阵）之处在于其元素是 的多项式，仅此而已。首先，jordan标准形的求解是一项基本功，一般是先求特征值，再求对应特征向量，判断jordan标准形的形状，过渡阵的求解有时需要解一个非齐次线性方程组。另外一个解决途径就是求出行列式因子或不变因子，从而得出初等因子，进而确定jordan标准形。其次，对于两矩阵相似的判定，较为灵活，可以先尝试用必要条件（迹或行列式相等）来判断是否不相似，若无法确定则可利用充要条件（行列式因子、不变因子、初等因子或jordan标准形相同）一定可以判定两矩阵是否相似。
欧氏空间较线性空间而言，多了一条运算，这一运算不仅能够更大程度地反映实际问题，同时也引发了一系列新的问题。首先，内积实际上一个满足交换律、线性和正定性的二元函数，而欧氏空间则是定义了内积的线性空间。其次，欧氏空间有一类特殊的基，即标准正交基，标准是指长度为单位长度，正交则是指两两垂直，两两内积为零，判断一组向量是否是标准正交基也只需在保证是基的前提下满足以上两点。至于标准正交基的求法，需要注意任意一组线性无关的向量组都可以扩充为标准正交基（即扩充定理），而扩充的方法则是schimidt正交化法，需要注意的是schimidt正交化法虽然繁琐但它不仅提供了矩阵的qr分解，而且这一思想也相当重要。最后，要说明的是，在欧氏空间中有一类特殊的线性变换，即正交变换。正交变换的特殊之处在于不仅保加保数乘而且保长。要证明一变换是正交变换一般有两条思路：一是证明其保持向量内积不变（保长、保角、保距离都可得），二是证明其在一组基下的矩阵是正交矩阵。另外，正交变换也有第一、二类之分。
总之，高等代数的学习一定要搞清楚各个概念以及它们之间的关系。多项式理论和行列式计算可以说是基本功，而矩阵则是贯穿始终的有力工具，可以用其来研究线性方程组、线性变换、二次型等，这就要能够熟练地将矩阵问题与线性方程组问题、线性变换问题、二次型问题相互转换，至于线性空间以及欧氏空间，需要多从其结构刻画来考虑。
