体能测试时间安排
某校按照教学计划安排各班学生进行体能测试，以了解学生的身体状况。测试包括身高与体重、立定跳远、肺活量、握力和台阶试验共5个项目，均由电子仪器自动测量、记录并保存信息。该校引进身高与体重测量仪器3台，立定跳远、肺活量测量仪器各1台，握力和台阶试验测量仪器各2台。
身高与体重、立定跳远、肺活量、握力4个项目每台仪器每个学生的平均测试（包括学生的转换）时间分别为10秒、20秒、20秒、15秒，台阶试验每台仪器一次测试5个学生，需要3分30秒。
每个学生测试每个项目前要录入个人信息，即学号，平均需时5秒。仪器在每个学生测量完毕后学号将自动后移一位，于是如果前后测试的学生学号相连，就可以省去录入时间，而同一班学生的学号是相连的。
学校安排每天的测试时间为8：00－12：10与13：30－16：45两个时间段。5项测试都在最多容纳150个学生的小型场所进行，测试项目没有固定的先后顺序。参加体能测试的各班人数见附表。
学校要求同一班的所有学生在同一时间段内完成所有项目的测试，并且在整个测试所需时间段数最少的条件下，尽量节省学生的等待时间。
请你用数学符号和语言表述各班测试时间安排问题，给出该数学问题的算法，尽量用清晰、直观的图表形式为学校工作人员及各班学生表示出测试时间的安排计划，并且说明该计划怎样满足学校的上述要求和条件。
最后，请对学校以后的体能测试就以下方面提出建议，并说明理由：如引进各项测量仪器的数量；测试场所的人员容量；一个班的学生是否需要分成几个组进行测试等。
附表 参加体能测试的各班人数
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班号
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
|
人数
|
41
|
45
|
44
|
44
|
26
|
44
|
42
|
20
|
20
|
38
|
37
|
25
|
45
|
45
|
45
|
|
班号
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
26
|
27
|
28
|
29
|
30
|
|
人数
|
44
|
20
|
30
|
39
|
35
|
38
|
38
|
28
|
25
|
30
|
36
|
20
|
24
|
32
|
33
|
|
班号
|
31
|
32
|
33
|
34
|
35
|
36
|
37
|
38
|
39
|
40
|
41
|
42
|
43
|
44
|
45
|
|
人数
|
41
|
33
|
51
|
39
|
20
|
20
|
44
|
37
|
38
|
39
|
42
|
40
|
37
|
50
|
50
|
|
班号
|
46
|
47
|
48
|
49
|
50
|
51
|
52
|
53
|
54
|
55
|
56
|
|
|
|
|
|
人数
|
42
|
43
|
41
|
42
|
45
|
42
|
19
|
39
|
75
|
17
|
17
|
|
|
|
|
摘 要： 本文通过计算全体学生体能测试所用的总时间以及每批测量所需的时间，确定了该校完成测试所需的时间接近两天。为了在这两天内将人数完全不同的各个班级进行合理的搭配，我们首先考虑的是必须把分散的班级人数进行排序整理，然后对应赋予顺序数。利用圆周流水的思想，将各批测试人数平均分配到4个时间段内，为了使每批学生等待时间最短，应该将各班的学生依序安排在5个测试点处形成圆周流水运转方式。这样每个班在录入个人信息上只需花费5秒钟。进而，使用FFD算法和改进的FFD算法分别求出问题的近似解，然后通过最优性分析证明得到的即是最优解。本文还充分讨论了该模型的合理性并对学校以后的体能测试提出了一些可行性的建议，在测试场所人员容量不变的情况下，我们设置出方便的可执行的程序，供该校在以后的体能测试中应用。
关键字：排序；圆周流转；均衡；FFD算法
一、 问题的重述
学校已有各项目的仪器数和测试所需时间见下表：
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|
身高与体重
|
立定跳远
|
肺活量
|
握力
|
台阶试验
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|
仪器数量（台）
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3
|
1
|
1
|
2
|
2
|
|
测试时间（秒）
|
10
|
20
|
20
|
15
|
210
|
注：测试时间即每台仪器每个学生的平均测试时间，其中每台台阶测试仪器可同时测试五个学生。
在每个班测试时录入个人信息所需时间为5秒，学校安排每天上午测试时间4小时10分，下午测试时间为3小时15分，测试场所的容量为150个学生。
学校要求同一班的所有学生在同一时间段内完成所有项目的测试，并使整个测试所用的时间段数最少的条件下，尽量减少学生的等待时间。
我们要解决下列问题：
1．用数学符号和语言表述各班测试时间安排问题，给出该问题的数学算法。
2．用清晰直观的图表形式表示出测试时间的安排计划，并说明该计划如何满足学校的上述要求。
3．对学校以后的体能测试提出建议，并说明理由。
二、基本假设
1）一个班级的学生同时来到测试场所，做完所有测试项目的学生随即离开测试场所（同进随出）；
2）一个班级同学在安排测试时间到场即可，不要求提前到场;
3）在所有的测试时间段内，学生的测试过程都市顺利进行的，不会出现任何故障（工作元不准时上班，仪器的维护与修理，一个学生对同一个项目测试多次等）；
4）学好相连只是对每个班级内部而言，俩个不同班级之间不存在学好相连的情况；
5）一个学生群体的测试时间是指从有一个学生开始测试到所有学生完成测试之间的时间；
三、符号说明
N：表示全校总人数
Xi：表示第i班的班级人数
n: 表示学校的班级数
m：表示测试所分批数
k：表示每批的班级数
r：表示测试场所的人员容量
t：表示每批组织管理安排时间
T：表示测试总时间
S：表示身高与体重的仪器、L：表示立定跳远的仪器,F：表示肺活量仪器,W：表示握力仪器,G：表示台阶试验仪器
.
四、模型的建立和求解
（一）模型的建立
模型（1）对每批K个班级进行合理安排模型。设K个班级分别为BJ1，BJ2，BJ3……BJK， 用 S表示身高与体重的仪器，L表示立定跳远的仪器，F表示肺活量仪器，W表示握力仪器，G表示台阶试验仪器。将每批K个班级按照学号顺序分成一到两部分，即（bj11 ,bj12 ）;（bj21 ,bj22 ）;…（bjK1 ,bjK2 ），使得bj11= r/5，bj12+bj21= bj22+ bj31= …= bjK-1 2+bjK1 +bjK2= r/5，以此方法分成5个小组：A，B，C，D，E，将这5个小组按照图中顺时针方向分别分配在G，F，L，W，S这5个测试点上。每测完一项按下列方式流动：S→G→F→L→W→S，形成圆周流水性的运转方式。这样运转保证了每个班的学号连续，尽量减少了录入学号花费时间，可达到每个班级只录入一次学号信息的效果。因此这是一个最佳安排模型。我们要注意的是一个测试点有多个测试仪器，每个小组也应该按学号顺序再分组，虽然每台仪器都在录入学号信息，但由于它们是同时录入的。所以每班在一个测试点上录入学生信息只有一次。
若把改进的FFD算法用MAPLE13编程实现得到此时所需要的时间段数M=3，也就是刻意在三个上午时间段内完成所有学生的测试。
模型（2）分段测试安排计划模型。设上午时间段为t1小时，下午时间段为t2小时，k为每批班级数，由于测试场所的人员容量为r，我们可以计算r人在模型2的安排方案下，共需要时间T1，假设台阶试验测量速度最慢，T1以台阶试验测量点的时间加上录入学号的时间为每批学生测量时间，其它情况道理相同。即：
如台阶试验测量速度最慢T1＝（210×r/5）/c1+5k，
如果果身高与体重的仪器测量速度最慢T1＝10r/ c2+5k，
如果立定跳远的仪器测量速度最慢T1＝20r/ c3+5k，
如果肺活量仪器测量速度最慢T1＝20r/ c4+5k，
如果握力仪器测量速度最慢T1＝15r/ c5+5k.
公式中c1表示身高与体重的仪器台数、c2表示立定跳远的仪器台数，c3表示肺活量仪器台数，c4表示握力仪器台数，c5表示台阶试验仪器台数。
设测试所用的时间段的多少为T2，其计算方法为：
T2=〔m×（T1+t）/（t1+ t2）〕，公式中t为每批组织管理安排时间。考察m×（T1+t）－（t1+ t2）T2与t1、 t2比较，看剩余时间是否够一个上午或一个下午，如果多于它们，则安排测量的时间为T2 +1天，否则为T2天又一个上午或一个下午测完。
最后我们将m批学生顺次分在各个时间段里，就可得到测试时间安排表。
模型（3）现在在正个测试时间段数 M=3的条件下考虑使得全体学生等待时间最少的安排方法。在班级间可衔接的情况下有同进随出的假设知学生的等待时间t(u)=t(e)-t(o)-t(p)’（其中t(e)表示该学生的离场时间，t(o)表示该学生的进场时间，t(p)’表示学生与仪器接触的时间）。因为同一个班级的进场时间相同，且每个学生与仪器接触的时间相同，则同一班级学生的等待时间完全由其离场时间决定。所以要使等待时间最少，只需使学生尽早做完五项测试离场即可。
(二)模型的求解
（1）对每批4个班级进行合理安排。
表6我们计算了每种仪器测量每批学生所用的时间。通过表格我们可以看到S〈W〈L=F〈G，可见台阶试验G所用时间最长，在安排时需要注意对它进行优先安排，比如组织者将第一组首先放在G处，不要让G处出现等待的情况。
表6.
|
机器名
|
身高与体重S
|
立定跳远L
|
肺活量F
|
握力W
|
台阶试验G
|
|
每批所需时间(秒)
|
500
|
3000
|
3000
|
1125
|
3150
|
根据前面设置的对每批K个班级进行合理安排的模型。我们作以下具体安排，这里每批有4个班级，人数大约在140到150之间，测量时我们要将4个班级的学生分成5个小组，即为A组，B组，C组，D组，E组，将每批4个班级按照学号顺序分成一到两部分，例如表4中的第三列是19，32，42，50，对应的班级代号是BJ52，BJ29，BJ41，BJ44。我们首先选择人数为50的最大班级BJ44进行安排，将其前30个学号作为A组安排在G处，把后20个学号以及BJ29班的前10人作为B组安排在S处，后续的22人和BJ52班级中的8人作为C组安排在W处，再将BJ52班剩下的11人和BJ41班级中的19人作为D组安排到L 处，最后将BJ41班剩下的23人作为E组安排在F处，然后每测完一项按下列方式流动：S→G→F→L→W→S为了让学生明确起见，我们还可以公布下面的表格（表7），便于学生查找。
表 7.
|
组别
|
A组
|
B组
|
C组
|
D组
|
E组
|
|
第1次测量
|
G
|
S
|
W
|
L
|
F
|
|
第2次测量
|
S
|
W
|
L
|
F
|
G
|
|
第3次测量
|
W
|
L
|
F
|
G
|
S
|
|
第4次测量
|
L
|
F
|
G
|
S
|
W
|
|
第5次测量
|
F
|
G
|
S
|
W
|
L
|
这样可以保证每个班的学号连续，只需要花费4次的录入时间，共20秒。这样运转保证了每个班的学号连续，尽量减少了录入学号花费时间，可达到每个班级只录入一次学号信息的效果。对于最慢的测试点台阶试验G处来说，它有两台测试仪器，每个小组进入本测试点时又应该分为两部分分别到两台仪器测试，此时也应该按学号顺序再分组，虽然每台仪器都在录入学号信息，但由于它们是同时录入的，所以每班在一个测试点上录入学生信息仍然只有一次，因此这是一个最佳的安排。
(2) 对学校以后的体能测试的建议.
表8是每个测试点在不同时间内所测的人数，由表可知每天上.下午各个项目测试的人数差别很大，每天上下午测试身高与体重的人数分别是4500，3510，而台阶测试的人数分别是715，558。每个测试点测试每批所需时间也相差很大，身高与体重所测每批时间为500秒，而台阶试验所测每批时间为3150秒，这么大的时间差距不便于各班级测试的安排，为了减少学生的等待时间，所以我们对学校以后的体能测试提出一些建议.
表8.
|
机器名
|
台数
|
每人所需时间(秒)
|
上午可测的人数
|
下午可测的人数
|
每批所需时间（秒）
|
|
身高与体重
|
3
|
10
|
4500
|
3510
|
500
|
|
立定跳远
|
1
|
20
|
750
|
585
|
3000
|
|
肺活量
|
1
|
20
|
750
|
585
|
3000
|
|
握力
|
2
|
15
|
2000
|
1560
|
1125
|
|
台阶试验
|
2
|
210
|
715
|
558
|
3150
|
在不改变测试场所人员容量的前提下，对各个项目的测量仪器的数量进行调整，身高与体重的测量仪器由原来的3台变为1台，立定跳远的测量仪器由原来的1台变为2台，肺活量的测量仪器由原来的1台变为2台，握力测量仪器不变，台阶测量仪器由原来的2台变为4台。下表为上、下午各项目测试的总人数及每批所需时间。
表9.
|
机器名
|
台数
|
每人所需时间(秒)
|
上午总测的人数
|
下午总测的人数
|
每批所需时间
|
|
身高与体重
|
1
|
10
|
1500
|
1170
|
1500
|
|
立定跳远
|
2
|
20
|
1500
|
1170
|
1500
|
|
肺活量
|
2
|
20
|
1500
|
1170
|
1500
|
|
握力
|
2
|
15
|
2000
|
1560
|
1125
|
|
台阶试验
|
4
|
210
|
1429
|
1115
|
1575
|
经过比较根据上表得上下午测试的总人数比较平衡。所以我们认为该方案具有可行性。
如果学校正在新建校区而且学校的班级人数增加，则可以考虑增大测试场所的人员容量，但一定要使测试场所的人员容量为25的倍数，才便于进行体能测试的时间安排。如果学校没有计划建新校区则不必考虑该方案。我们认为一个班的学生最好不要分成几个小组进行测试，因为这样会增加学生的等待时间，而且不便于统一管理，会给测试带来更多的问题。
在测试场所人员容量不变的情况下，我们用心设置出了方便的可执行的程序，供该校在以后的体能测试中应用。只要工作人员将各班人数输入到指定的列中，就可以自动得到体能测试的时间安排表。
五、结果的分析
测试时间安排表.
|
时间段
|
时间
|
班级代号
|
|
第一天
|
上午
|
8:00到9:03
|
|
18
|
47
|
54
|
|
9:03到10:06
|
55,56
|
25
|
32
|
33
|
|
10:06到11:09
|
52
|
29
|
41
|
44
|
|
11:09到12:10
|
8
|
30
|
46
|
45
|
|
下午
|
13:30到14:35
|
9
|
7
|
49
|
2
|
|
14:35到15:40
|
17
|
20
|
51
|
13
|
|
15:40到16:45
|
27
|
26
|
1
|
14
|
|
第二天
|
上午
|
8:00到9:03
|
35
|
11
|
31
|
15
|
|
9:03到10:06
|
36
|
38
|
48
|
50
|
|
10:06到11:09
|
28
|
43
|
42
|
3
|
|
11:09到12:10
|
12
|
10
|
19
|
4
|
|
下午
|
13:30到14:35
|
24
|
21
|
34
|
6
|
|
14:35到15:40
|
5
|
22
|
40
|
16
|
|
15:40到16:45
|
23
|
39
|
53
|
37
|
六、模型的改进与评价
本文建立了一个体能测试的时间合理安排的数学模型，此数学模型具有以下优点：
1．该数学模型首先从时间段的计算出发，整体把握了学校测试安排的总的时间，确定了整个测试所用的最少的时间段数。在时间段数最少的条件下，能均匀合理的安排各批班级的测试时间，使得学生的等待时间最短。
2．该数学模型从均衡的思想出发，使得各个时间段的测量人数基本相当，不会出现先紧后松和工作人员管理紧张的情况。
3．该数学模型可以作出可执行程序，在该可执行程序中，只要工作人员将各班人数输入到指定的列中，就可以自动得到体能测试的时间安排表。这是非常方便的，为以后学校的体能测试提供了自动的安排计划。
但是本模型也有它的不足之处，还有许多需要改进的地方：
1.当学校的班级总数不能被测试批数整除时，会出现某个批数的人数过少的情况，该模型没有一个较好的解决办法，建议将剩余班级安排在某个时间段的剩余当中。
2. 当学校有一些班级人数过多或过少时，用该数学模型得到的分配表会有不符合的情况，需要进行微调，这给工作人员带来了不便。希望在此问题上能得到改进。
七、参考文献
【1】 中国幻方网站.http//www.zhghf.nef.
【2】 数学建模方法及其基础，清华大学出版社，2005,7
【3】 李海增，数学实验讲义
数
学
建
模
数学系
数学与应用数学
0901班
组员：张亚娜（09404144）
汪康（09404130）
苏醒（09404128）
