第36 卷第7 期
2006 年7 月
数学的实践与认识
MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY
Vol136 　No17 　
July , 2006 　
仓库容量有限条件下的随机存贮管理模型
颜　剑1 , 　周伶玲1 , 　刘　伟2
(1. 中南大学材料科学与工程学院, 湖南长沙　410083)
(2. 中南大学化学化工学院, 湖南长沙　410083)
摘要: 　以商场的商品销售与存贮为研究对象,建立了一类在仓库容量有限条件下的存贮管理决策模型,并
给出了最优存贮策略. 针对某个大型超市的三种商品的真实销售数据,我们运用该模型分析求解得出了三
种商品的最优订货点L
3 分别为35、39 和40. 结合销售存贮管理中的实际情况,我们针对商场同时订购多种
商品时的情况对模型进行了初步推广,并依据此推广模型得出了在同时订购三种商品时的最优订货点L
3 为
712. 最后我们进一步讨论了在商品销售率随存贮时间发生变化及存贮变质性商品时的存贮管理决策模型,
以便满足不同商家的订货和存贮策略.
关键词: 　存贮管理模型; 销售周期; 最优订货点
1 　引　　言
存贮管理是企业和商家生产经营管理的一个重要环节,是降低成本提高经济效益的有
效途径和方法. 现有某商场销售某商品,假定该商品的销售速率不变,记为r ;不考虑商品数
量与品种对订货费的影响,记为常数c1 ;商场自身仓库的最大库存量为Q0 ,当货物超出自身
容量时需租借仓库存贮商品. 商场自身仓库平均每天存贮单位商品的费用为c2 ,租借仓库
平均每天存贮单位商品的费用为c3 ,且有c2 ≤ c3 . 允许商品缺货,假定因缺货造成销售额
减小而带来的单位商品损失费用为c4 . 在销售过程中,每当存贮量q 降到L 时即开始订货.
每次订货后的交货时间X 为随机变量. 每次到货后使该类商品的存贮量q 补充到固定值Q
为止,且Q0 3
,使得该商场的
总损失费用最低.
2 　数学模型的建立及应用
211 　模型假设
建立数学模型的过程就是把错综复杂的实际问题简化,抽象为合理的数学结构的过程.
因此,为使问题简化,特引入几个有用的假设:
(i) 商家在销售商品时,不会等到把所有商品都销售出去后再去订货,即假定订货点L
≥0 ;
(ii) 商家在销售商品时应该优先销售租借仓库所存贮的商品,到货后优先把商品存贮
到自己仓库;
(iii) 商家支付的存贮费用应是按天计算的,即每天的存贮费用是在该天结束后支付
的,如果商家在该天还未结束时就把仓库中的商品销售完毕,则不必支付该天的存贮费用;
(iv) 商家制订的最优订货点L
3
应是在考虑了随机变量X 的数学期望值后制订的.
212 　模型建立
设商家在一个销售周期T(从最大存贮容量Q 到下一次达到最大存贮容量Q 之间的时
间差) 内的总损失费用为C ,显然C 应当是订货点L 和交货时间的X 的函数,即有
　　C = C(L , X) (1)
现在我们即根据实际问题的需要来具体求解C(L , X) 的表达式. 为此,先引入三个有
用的参量X0 、X1 和X2 ,其定义为
　　X0 = [ ( Q - Q0 ) / r ] , X1 = [ Q/ r ] , X2 = [ ( Q - L) / r ] (2)
其中[ x ] 表示高斯函数,即[ x ] 为不超过x 的最大整数,有x - 1 根据X0 、X1 、X2 和X 四个参量间的相互关系,我们可以做出5 个不同的存贮容量随销售
时间的变化曲线图,如图1 所示:
图1 　存贮容量随销售时间的变化曲线图
174 数 　学 　的 　实 　践 　与 　认 　识 36卷
在图1 (a) 中, X0 、X1 、X2 和X 四个参量间的相互关系为X0 此时商家在一个销售周期内平均每天的损失费用为
　　…C = C/ T =
Σ
X
0
t = 1
c3 (Q - Q0 - rt) + c2 Q0 X0 + Σ
X
2 + X
t = X
0 +1
c2 (Q - rt) + c1
X2 + X
(3)
在图1 (b) 中, X0 、X1 、X2 和X 四个参量间的相互关系为X0 X1 - X2 ,
此时商家在一个销售周期内平均每天的损失费用为
…C = C/ T =
Σ
X
0
t =1
c3 (Q - Q0 - rt) + c2 Q0 X0 + Σ
X
1
t = X
0+1
c2 (Q - rt) + c4 [ r(X2 + X) - Q] + c1
X2 + X
(4)
在图1 (c) 中, X0 、X1 、X2 和X 四个参量间的相互关系为0 ≤ X2 ≤ X0 和X ≤ X0 - X2 ,
此时商家在一个销售周期内平均每天的损失费用为
　　…C = C/ T =
Σ
X2 + X
t = 1
c3 ( Q - Q0 - rt) + c2 Q0 ( X2 + X) + c1
X2 + X
(5)
在图1 (d) 中, X0 、X1 、X2 和X 四个参量间的相互关系为0 ≤ X2 ≤ X0 和X0 - X2 ≤ X1 - X2 ,此时商家在一个销售周期内平均每天的损失费用为
　　…C = C/ T =
Σ
X
0
t = 1
c3 ( Q - Q0 - rt) + c2 Q0 X0 + Σ
X
2 + X
t = X
0 +1
c2 ( Q - rt) + c1
X2 + X
(6)
在图1 (e) 中, X0 、X1 、X2 和X 四个参量间的相互关系为0 ≤ X2 ≤ X0 和X1 - X2 此时商家在一个销售周期内平均每天的损失费用为
…C = C/ T =
Σ
X
0
t =1
c3 (Q - Q0 - rt) + c2 Q0 X0 + Σ
X
1
t = X
0+1
c2 (Q - rt) + c4 [ r(X + X2) - Q] + c1
X2 + X
(7)
又假设X ( X ≥0 ,且X 为整数) 满足某一离散分布f (ξ = X) (如泊松分布,二项式分布
等) ,由此我们可以求出随机变量X 的数学期望值为
　　…X = Σ
∞
X = 0
Xf (ξ = X) (8)
由假设(iv) 可知,商家制订的最优订货点L
3
是在考虑随机变量X 的数学期望值后制订
的,那么由此可把(2) 和(8) 式分别代入(3) ～ (7) 式得到一个销售周期内平均每天的损失费
用…C 关于订货点L 的一元函数…C = …C (L) ,令d…C(L) / dL = 0 ,从而求出对应最小值min…C (L)
的Lmin 值,而Lmin 即是我们所求的最优订货点L
3
.
综上所述,可做出求解最佳订货点L
3
的程序流程图,如图2 所示
　　f (ξ = X) …X…X
213 　模型应用
为验证本模型的实用性,现考虑三个实际问题: ①关于康师傅精装巧碗香菇炖鸡面的
7期 颜 　剑 ,等:仓库容量有限条件下的随机存贮管理模型 175
图2 　求解最佳订货点L
3
的程序流程图
存贮管理问题, 其销售参量为r = 12 盒/ 天, c1 = 10 元, c2 = 0101 元/ 盒. 天, c3 =
0102 元/ 盒. 天, c4 = 0195 元/ 盒. 天,Q0 = 40 盒; Q = 60 盒,连续36 次的交货时间X 依次
为3、3、7、1、2、3、3、0、3、4、6、3、1、4、3、3、2、2、3、2、5、3、2、3、3、0、3、4、3、1、4、5、4、3、1 ; ②关于心
相印手帕纸10 小包装的存贮管理问题,其销售参量为r = 15 盒/ 天, c1 = 10 元, c2 = 0103
元/ 盒. 天, c3 = 0104 元/ 盒. 天, c4 = 1150 元/ 盒. 天,Q0 = 40 盒,Q = 60 盒,连续43 次的
交货时间X 依次为4、2、3、3、2、2、2、2、2、2、2、2、3、2、1、2、4、3、2、3、2、2、4、2、3、4、3、3、2、3、2、3、
2、2、1、3、2、5、3、2、4、2、2 ; ③关于中汇香米5 KG 装的存贮管理问题, 其销售参量为r =
20 袋/ 天, c1 = 10 元, c2 = 0106 元/ 袋. 天, c3 = 0108 元/ 袋. 天, c4 = 1125 元/ 袋. 天,Q0
= 20 袋,Q = 40 袋,连续61 次的交货时间X 依次为3 、4、4、2、3、3、2、2、1、2、1、1、1、2、1、1、1、
1、1、1、2、2、5、1、1、1、2、1、1、1、1、1、1、2、2、1、2、2、3、3、1、2、2、1、2、2、1、2、1、2、1、1、2、2、5、6、3、
4、3、1.
由图2 可知,为求最佳订货点L
3
则必须首先确定随机变量X 满足的分布函数. 根据近
176 数 　学 　的 　实 　践 　与 　认 　识 36卷
数十年来大量的科学研究,人们发现很多随机现象都可用泊松分布去描述,例如在社会生活
中,各种服务需求量,如一定时间内,某电话交换台接到的呼叫数,某公共汽车站来到的乘客
数,某商场来到的顾客数都满足泊松分布. 因此我们假定前述的三个实际问题中的交货时
间X 也满足泊松分布,为衡量该假定的准确性,可将前述的三个实际问题中的交货时间X
的频率分布图与其对应的概率分布图作于同一图中,如图3 所示.
图3 　交货时间X 的频率分布图与其对应的概率分布图
由图3 可见,交货时间X 的频率分布图与其对应的概率分布图重合得不是很好,但是整
体上还是可以接受的,而且对于本问题的计算不会带来多大的误差. 由此求得前述三个问
题中的交货时间X 的数学期望值分别为219722、215349 和119508. 根据图2 中所述的方法求
得的最优订货点L
3
分别为35 、39 和40.
3 　数学模型的初步改进
311 　初步改进模型的提出
前文所建的数学模型只考虑了订购同一种商品的情形,对于商家同时订购多种商品的
情形是不适用的. 为此,我们必须建立新的数学模型以解决此问题.
现假设某商家有m 种商品需要订货,每次进货时都从同一个供应站同时订购这m 种商
品,每次进货的订货费c1 与商品的数量和品种无关,为一常数. 假设订购的货物同时到达,
且到货天数X 为一随机变量. 这m 种商品的销售速率分别记为ri (袋或盒/ 天) ( i = 1 ,2 ,
⋯, m) ,每袋(或盒) 的体积分别为vi ( i = 1 ,2 , ⋯, m) . 使用商家自己仓库和租借仓库存贮
某单位体积商品每天所需的存贮费分别记为c2 i 和c3 i ( i = 1 ,2 , ⋯, m) ,且有c2 i ≤c3 i . 某种
商品由于缺货而造成的损失记为c4 i ( i = 1 ,2 , ⋯, m) . 商家自己仓库用于存贮这m 种商品
的总体积容量记为Q0 ,假定每次到货后都使这m 种商品的存贮量的总体积补充到固定体积
7期 颜 　剑 ,等:仓库容量有限条件下的随机存贮管理模型 177
容量Q 为止,且Q0 定最优订货点L
3
和商家自己仓库用于存贮这m 种商品的各自体积容量Q0 i ( i = 1 ,2 , ⋯,
m) 以及在订货到达时使这m 种商品各自存贮量补充到的固定体积Qi ( i = 1 ,2 , ⋯, m) ,使
商家的总损失费用达到最低.
312 　初步改进模型的建立
假设在一个销售周期T 中,Q、Q0 和L 体积容量的商品中含有某种商品的个数分别记
为ni 、ki 和li (其中i = 1 ,2 , ⋯, m) ,那么有
　　Σ
m
i = 1
nivi = Q , Σ
m
i = 1
ki vi = Q0 , Σ
m
i = 1
livi = L (9)
如果我们继续按照上述订购单种商品的方法去建立订购多种商品的数学模型,那么分
类的标准将会随着订购商品种类的增多而增多,结果使得所列的在一个销售周期内平均每
天的损失费用的数学表达式也越来越多. 为了统一数学表达式,特引入一单位阶跃函数y
= η( x) ,其具体定义为
　　y = η( x) =
1 , x ≥0
0 , x (10)
由此可写出商家在一个销售周期内平均每天的损失费用的统一数学表达式为
…C = C/ T = Σ
m
i =1 Σ
T
0
t =1
c3ivi (ni - ki - ri t)η(ni - ki - ri t) + Σ
m
i =1 Σ
T
0+…X
t = T
0+1
c2ivi (ni - ri t)η(ni - ri t)
　+ Σ
m
i = 1
c2 ivi ki τiη( T0 + …X - τi ) + Σ
m
i = 1
c2 ivi ki ( T0 + …X)η(τi - T0 - …X)
　+ Σ
m
i = 1
c4 ivi [ ri ( T0 + …X) - ni ]η[ ri ( T0 + …X) - ni ] + c1 / ( T0 + …X) (11)
上式(11) 中,τi = [ ( ni - ki ) / ri ] ( i = 1 ,2 , ⋯, m) , …X 表示随机变量X 的数学期望值, T0
表示m 种商品的总体积容量从Q 降到L 时所经过的天数,即有
　　Σ
m
i = 1
[ T0 riviη(τ′i - T0 ) + niviη( T0 - τ′i ) ] = Q - L (12)
上式(12) 中,τ′i = [ ni / ri ] ( i = 1 ,2 , ⋯, m) .
将(12) 式代入(11) 式则可得…C 关于ni 、ki 和li 的函数表达式
　　…C = …C ( ni ; ki ; li ) ( i = 1 ,2 , ⋯, m) (13)
在ni 、ki 和li 满足条件(9) 下求(13) 式的最小值,这可由拉格朗日乘子法解决,即构造
拉格朗日函数
　　F( ni ; ki ; li ,λ1 ,λ2 ,λ3 ) = …C ( ni ; ki ; li ) + λ1 Σ
m
i = 1
nivi - Q
　+ λ2 Σ
m
i = 1
kivi - Q0 + λ3 Σ
m
i = 1
livi - L (14)
由方程组
178 数 　学 　的 　实 　践 　与 　认 　识 36卷
　　
5 F
5 ni
= 0
5 F
5 ki
= 0
5 F
5 li
= 0
5 F
5λj
= 0
　　　　( i = 1 ,2 , ⋯, m ; j = 1 ,2 ,3) (15)
可求得拉格朗日函数F( ni ; ki ; li ,λ1 ,λ2 ,λ3 ) 的驻点n
3
i 、k
3
i 和l
3
i ( i = 1 ,2 , ⋯, m) ,由
此即可得最优订货点L
3
= Σ
m
i = 1
l
3
i vi 及Q0 i = k
3
vi ,Qi = n
3
vi .
313 　初步改进模型的应用
为验证初步改进模型的实用性,现考虑一实际问题:某商场同时订购、存贮和销售康师
傅精装巧碗香菇炖鸡面、心相印手帕纸10 小包装和中汇香米5 KG 装三种商品,该三种商品
的销售参量分别为r1 = 12 盒/ 天, v1 = 0105 立方米, c21 = 0101 元/ 立方米. 天, c31 = 0102
元/ 立方米. 天, c41 = 0195 元/ 立方米. 天; r2 = 15 盒/ 天, v2 = 0104 立方米, c22 =
0103 元/ 立方米. 天, c32 = 0104 元/ 立方米. 天, c42 = 1150 元/ 立方米. 天; r3 = 20 袋/ 天,
v3 = 0110 立方米, c23 = 0106 元/ 立方米. 天, c33 = 0108 元/ 立方米. 天, c43 = 1125 元/ 立
方米. 天. 又c1 = 10 元,Q0 = 6 立方米,Q = 10 立方米. 假定到货天数X 服从在1 天到3 天
之间的均匀分布.
由此可知随机变量X 的数学期望值为…X = (1 + 2 + 3) / 3 = 2 ,将之代入(11) 式即可得
函数…C = …C ( ni ; ki ; li ) ( i = 1 , 2 , 3) ,然后再构造拉格朗日函数F( ni ; ki ; li ,λ1 ,λ2 ,λ3 ) ( i =
1 , 2 , 3) ,由方程组(15) 即可求得驻点n
3
1 、n
3
2 、n
3
3 、k
3
1 、k
3
2 、k
3
3 、l
3
1 、l
3
2 和l
3
3 ,由此即可确定
最优订货点L
3
= Σ
3
i = 1
l
3
i vi 及Q0 i = k
3
vi ,Qi = n
3
vi ( i = 1 ,2 ,3) .
上述方法在理论上是可行的,然而由于其计算量过于复杂使得实际操作起来很难实现.
为此,我们必须充分考虑到本问题中的实际特点,另辟蹊跷以求出L
3
、Q0 i 和Qi ( i = 1 ,2 ,
⋯, m) .
令Cji = vicji ( i = 1 ,2 ,3 ; j = 2 ,3 ,4) ,显然Cij 表示存贮单件某种商品所需的存贮费用.
本问题中各Cij 值具体为
C21 = v1 c21 = 010005 元/ 盒. 天, C31 = v1 c31 = 01001 元/ 盒. 天, C41 = v1 c41 =
010475 元/ 盒. 天;
C22 = v2 c22 = 010012 元/ 盒. 天, C32 = v2 c32 = 010016 元/ 盒. 天, C42 = v2 c42 =
0106 元/ 盒. 天;
C23 = v3 c23 = 01006 元/ 袋. 天, C33 = v3 c33 = 01008 元/ 袋. 天, C43 = v3 c43 =
01125 元/ 袋. 天
仔细观察上述Cij 值,可发现C4 i 值远远大于其相对应的C3 i 和C2 i 值,即缺货造成的损失
远远大于存贮费用的损失. 根据这一点,商家制订的最优订货点L
3
应使货物送到时,各种
商品都应有库存,于是有
7期 颜 　剑 ,等:仓库容量有限条件下的随机存贮管理模型 179
　　ri
…X ≤ ri ( T0 + …X) ≤ ni ( i = 1 ,2 ,3) (16)
又由n1 v1 + n2 v2 + n3 v3 = 0105 n1 + 0104 n2 + 0110 n3 = Q = 10 可得
　　24 ≤ n1 ≤96 ,30 ≤ n2 ≤145 ,40 ≤ n3 ≤76 (17)
现在再来考虑k1 , k2 和k3 值的取值范围. 回过头来再看Cij 值,又可发现
　　C23 > C22 > C21 , C33 > C32 > C31 (18)
由上式(18) 可推知商家为减少损失费用,应尽量使中汇香米5 KG 装的商品优先存入自
己的仓库,即应先使k3 值达到最大,然后再使k2 值也尽量地大. 考虑到k3 ≤ n3 ≤76 , k2 ≤
n2 ≤145 及k1 v1 + k2 v2 + k3 v3 = 0105 k1 + 0104 k2 + 0110 k3 = Q0 = 6 ,故应取k
3
1 = 0 ,
k
3
2 = 0 , k
3
3 = 60. 由此可知n3 的取值范围可进一步缩小为
　　60 ≤ n3 ≤76 (19)
通过分析可知满足关系式(17) 、(19) 及0105 n1 + 0104 n2 + 0110 n3 = 10 的n1 , n2 , n3
的整数解共有81 组.
又由(16) 及(17) 式可推知
　　T0 ≤1 (20)
考虑到T0 为正整数,故取T0 = 1.
到此,我们可通过穷举法求出上述(11) 式的最小值,并由此得到所求的n
3
1 、n
3
2 、n
3
3 、
k
3
1 、k
3
2 、k
3
3 、l
3
1 、l
3
2 和l
3
3 值分别为56、30 、60、0、0、60 、36、15 和48 ,于是可得最优订货点为
L
3
= l
3
1 v1 + l
3
2 v2 + l
3
3 v3 = 36 ×0105 + 15 ×0104 + 48 ×0110 = 712 立方米(21)
另外也可得商家自己仓库用于存贮这三种商品的各自体积容量Q0 i ( i = 1 ,2 ,3) 和在订
货到达时使这三种商品各自存贮量补充到的固定体积Qi ( i = 1 ,2 ,3) 分别为
Q01 = k
3
1 v1 = 0 立方米, Q02 = k
3
2 v2 = 0 立方米, Q03 = k
3
3 v3 = 6 立方米(22)
Q1 = n
3
1 v1 = 218 立方米, Q2 = n
3
2 v2 = 112 立方米, Q3 = n
3
3 v3 = 6 立方米(23)
4 　数学模型的进一步推广及思考
虽然上述的两个简单实用的仓库存贮管理模型能够解决一些现实问题,但在实际生活
中,往往由于各种不定的因素如商品的销售经常是随机的、订货情况在一段时间后是会发生
变化的,还有就是存贮商品由于不稳定而发生变质等问题,使得商家要随时调整订货和存贮
策略以求达到最佳的销售策略. 下面,我们就此论述两个推广的仓库存贮管理模型.
411 　销售率变化模型
在商品的实际销售过程中,商品的销售率并非一个定值,而是随着时间的改变而改变
的. 假定销售率函数ri ( t) 具有如下的形式[1 ]
　　ri ( t) = Atα ( T - t) β (α和β为非负整数) (24)
上式(24) 中常数A > 0 , T 为销售周期,α和β不能同时为零, i 标记第i 种商品. 参数A 、
α和β值可通过拟合一组销售率的原始数据而得到. 将(24) 式代入(11) 式即可得该问题的
解决方案.
412 　存贮变质性商品模型
在常见的存贮管理问题[2- 5 ] 中,存贮商品的使用寿命一般被认为是无穷的. 但在实际
180 数 　学 　的 　实 　践 　与 　认 　识 36卷
的库存管理实践中,变质却是一种常见的现象. 如挥发性物品的挥发、放射性物品的衰变,
以及食品、水果的变质等. 对于存贮商品为变质性物质的库存模型,人们常常会采取一些措
施来减少变质的发生,且存贮时间越长,这种措施越需加强,体现为在单位时间内存贮单位
商品所需存贮费对时间的变化率大于0. 假设存贮费随时间的变化关系为线形关系,即有
　　cji = σji t +γji (25)
上式(25) 中的j 标记商场自身仓库或租赁仓库在单位时间内存贮单位商品所需的存贮
费, i 标记第i 种商品. σji 和γji 为参数,且有σji > 0 ,同样可拟合一组存贮费用的原始数据而
得到. 将(25) 式代入(11) 式即可得该问题的解决方案.
参考文献:
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[2 ] 　刘小群, 马士华. 两层次、多品种货物随机存贮模型研究[J ] . 华中科技大学学报(自然科学版) , 2005 , 33 (2) :
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[4 ] 　杨益民, 沙峰. 一类存贮模型及其最优存贮策略[J ] . 数学的实践与认识, 2005 , 35 (9) : 28 —33.
[5 ] 　Berman O , Sapna K P. Optimal service rates of a service facility with perishable inventory items[J ] . Naval Research Logistic ,
2002 , (49) : 462 —482.
A Random Managing Storage Model Under
Limited Warehouse Capacity
YAN Jian1 , 　ZHOU Ling2ling1 , 　LIU Wei2
(1. School of Materials Science and Engineering , Central South University , Changsha Hunan 410083 , China)
(2. School of Chemistry and Chemical Engineering , Central South University , Changsha Hunan 410083 , China)
Abstract : 　This article deals with commodity sale and storage in marketplaces. A managing storage model
under limited warehouse capacity was established , and the optimal storage strategy was also given in this pa2
per. The optimal indents L
3
were 35 , 39 and 40 , respectively , using the model to study the storage strate2
gies of actual distribution data of three commodities in a large super market. A simple extension of the model
for marketplaces ordering multi - commodity simultaneously was also put forward according to practical com2
plexities of sale and storage management , and later to investigate a super market ordering three commodities
simultaneously to obtain the optimal indent L
3
being 712. Finally , two more complex extensions of the mod2
el for the sale rate of commodities dependent on storage time and storing degenerative commodities were dis2
cussed in this study to satisfy the different ordering and storage strategies of marketplaces.
Keywords : 　managing storage model ; trading periodicity ; optimal indent
7期 颜 　剑 ,等:仓库容量有限条件下的随机存贮管理模型 181