企业退休职工养老金问题模型
摘要
本文依据未来中国经济发展和工资增长形势，通过曲线拟合、误差分析、相关度比较，对山东省职工年平均工资作出合理简单的分析与预测，同时根据山东省某企业各年龄段职工的工资分布情况，对各年龄段职工缴费指数作出合理的假设与估算，进而对我国企业职工退休后的养老金问题建立起合理的数学模型，运用适当的模型与假设对四个问题进行了处理和解答。
问题一：此问题需要考虑我国经济与工资增长的速度与发展中国家其发展速度的对比，为了达到21世纪中叶的人均国民生产总值，我国的经济在短期内还得加快速度，但这个速度不可能无限期的增长，必然会达到缓和状态，基于此我们提出了S型曲线的假设；另外通过对附件1提供的数据，我们拟合出了几条最接近曲线图，并对个曲线进行误差分析与相关度比较，从而简化合理的对2011年至2035年的山东省职工年平均工资作出预测。
问题二：采用区间估计中取组中值的方法对附件2的数据进行处理，并拟合出相应的曲线，并提出假设预测出60-65岁这个年龄段的职工工资，进而求得所需比值，再由此比值作为缴费指数的参考值和养老金的计算公式借助于MAPLE求出相应的六个替代率。
问题三：在问题一和问题二的前提下，先后得到职工从开始至退休所缴纳的社会统筹基金总额和从退休后到75岁所领取的养老金总额及其差值，最后猜想并验证得到当达到收支平衡时该职工领取养老金到了多少岁。
问题四：通过如上分析并结合我国现状，为达到目标替代率的同时维持养老保险基金收支平衡，我们认为我国应采取如下措施：
（一）、提倡企业从职工一入职就开始缴养老保险，这样有利于达到目标替代率。
（二）、随着人们生活水平及医疗条件的提高，我国人均寿命逐步提高到70岁左右，为使养老基金缺口缩小，使养老保险基金达到收支平衡，我国应推迟法定退休年龄，不断完善退休制度。
关键词：
养老金；替代率；曲线拟合；误差分析；MAPLE
一、问题的重述
目前我国养老保险改革正处于过渡时期，养老保险收支平衡是养老保险中最为重要的问题，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡，对于顺利建立社会主义市场经济体制具有重大意义。替代率是影响基金收支平衡一个重要因素，因此对于养老保险管理中各种情况下养老金替代率的研究尤为重要。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。
利用相关数据，建立模型，解决如下问题：
问题一：对未来中国经济和工资增长的形势做出简化、合理的假设，并依附件1，预测2011至2035年的山东省职工的年平均工资；
问题二：据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。若把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。
问题三：假设该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。
问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出理由。
二、模型的假设与符号约定
2.1 模型假设
1、
工资以连续的曲线变化。
2、
不考虑其他因素对工资的波动影响。
3、
职工在职月（年）工资假设为月（年）社会平均工资。
4、
银行的存款利息率不随时间的变化而变化，为一定值（3%）。
2.2 符号约定
：
指数函数曲线模型函数；
：四次多项式曲线模型函数；
：五次多项式曲线模型函数；
：表示山东省的年平均工资的函数表达式；
：表示第X年缴入个人账户的本息（X=23,24,….）；
：分别表示从2000年开始到2024年、从2000年开始到2029年、从2000年开始到2035年、从2010年开始到2034年、从2010年开始到2039年、从2010年开始到2044年缴入个人账户的总额；
：表示某人指数化月缴费工资；
：表示基础养老金；
：表示替代指数；
：表示缺口。
三、问题分析
3.1 问题一的分析
考虑到我国经济与中等发达国家水平还相差一段距离，近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高。为达到我国经济发展的战略目标，即要在 21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平，我国在相当长的一段时间里仍会保持较高的工资增长率，但其不可能无限制增长下去，我们可用S型曲线对此提出假设。而对山东省从2011年到2035年职工的年平均工资的预测为了收到较好的判断和预测效果，采用EXCEL软件对所给的数据进行多次曲线拟合，并通过误差分析及相关度分析，采用拟合度最好的曲线，从而预测出所要的结果。
3.2 问题二的分析
对各年龄段职工工资与企业平均工资采用区间估计中取组中值的方法进行估算，同时由于该企业没有60-65岁职工的工资，故采用EXCLE进行曲线拟合，估算得到60-65岁年龄段的平均工资，从而得到各年龄段职工缴费指数的参考值。运用MAPLE软件对各种情况下养老金替代率进行运算分析。
3.3 问题三的分析
养老保险基金缺口即养老保险基金入不敷出时出现的收支之差，也就是缴存的养老保险基金与其领取的养老基金之间的差额。这可由第二问与养老基金的计算公式得到，当差额接近0值，趋于收支平衡。
3.4 问题四的分析
当前最为紧迫的任务是，按照基金收支的平衡要求，采取措施大力调整影响制度可持续运行的相关变量，增加养老基金收入调整基金支出，最大可能地缩小基金缺口，减轻财政养老社会保险基金的压力。
四、模型建立与求解
4.1 问题一模型建立与求解
为达到我国经济发展的战略目标，即要在 21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平，我国在相当长的一段时间里仍会保持较高的工资增长率，但是随着我国经济的发展水平逐步达到中等发达国家水平，我国的工资增长率也会保持较低水平。为了由1978年到2010年山东省职工年平均工资合理预测出从2011年到2035年职工平均工资做出较好的判断和预测效果，对于要判断和预测的对象提出了不同的方案，在各方案中，充分衡量要判断和预测对象变化的条件及可能变化的幅度，选取适当或综合方案【1】。
统计预测的基本步骤如下：
1.
根据历史及现状的数据作散点图，观察其大体变化趋势。
由附件1中数据资料绘制出如下散点图4.1。
图4.1
根据图4.1直观判断无法确定采用何种曲线模型，但其变化趋势大体与三种模型类似，故初选三个曲线模型，分别为指数曲线模型、四次多项式曲线模型及五次多项式曲线模型，并选用EXCEL软件进行曲线拟合，得三种曲线模型及曲线拟合图4.2。
图4.2 拟合曲线图
指数曲线模型
四次曲线模型
五次曲线模型
由附件一数据，分别计算三个模型的误差和相关度，得到结果如表4.1
|
误差与相关度
|
指数曲线模型
|
四次曲线模型
|
五次曲线模型
|
|
0.9951
|
0.998
|
0.998
|
|
平均误差
|
-72.74095553
|
9.3319
|
-27.0446333
|
表4.1
从表4.1的误差分析及相关度分析以及直观观察，均为四次曲线模型的拟合程度最高，故四次曲线模型有较好的预测效果，用四次曲线模型得到2011年至2035年的山东省职工的年平均工资的预测值，如表4.2所示。
|
年份
|
2011
|
2012
|
2013
|
2014
|
2015
|
|
预测值
|
37448.5312
|
42393.8875
|
47890.0824
|
53980.3951
|
60709.816
|
|
年份
|
2016
|
2017
|
2018
|
2019
|
2020
|
|
预测值
|
68125.0467
|
76274.5
|
85208.2999
|
94978.2816
|
105637.9915
|
|
年份
|
2021
|
2022
|
2023
|
2024
|
2025
|
|
预测值
|
117242.6872
|
129849.3375
|
143516.6224
|
158304.9331
|
174276.372
|
|
年份
|
2026
|
2027
|
2028
|
2029
|
2030
|
|
预测值
|
191494.7527
|
210025.6
|
229936.1499
|
251295.3496
|
274173.8575
|
|
年份
|
2031
|
2032
|
2033
|
2034
|
2035
|
|
预测值
|
298644.0432
|
324779.9875
|
352657.4824
|
382354.0311
|
413948.848
|
表4.2
4.2 问题二模型建立与求解
考虑到附件2中并未给出山东省某企业60-64岁年龄段职工的工资分布，但是问题2中需要考虑职工65岁退休时的养老金替代率，本文首先采用区间估计中取组中值的方法对该企业各年龄段职工的平均工资做出估算并进行曲线拟合，曲线拟合如图4.3。通过直观观察曲线拟合程度同时结合 相关程度分析，三次多项式曲线模型可以很好的对该企业各年龄段职工平均工资进行拟合，故采用三次多项式曲线模型对该企业60-64岁年龄段职工平均工资进行预测。
图4.3 山东省某企业各年段职工平均工资拟合图像
由问题二，将2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比看作职工缴费指数的参考值，可得各年龄段缴费指数如表4.3。
|
年龄段
|
缴费指数
|
|
20-24
|
0.669236
|
|
25-29
|
0.804927
|
|
30-34
|
0.982514
|
|
35-39
|
1.066668
|
|
40-44
|
1.172806
|
|
45-49
|
1.266624
|
|
50-54
|
1.208664
|
|
55-59
|
1.155042
|
|
60-64
|
0.985
|
表4.3
由题目及附件三中养老金的计算方法知，替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。
职工退休时的养老金由两部分组成：养老金=基础养老金+个人账户养老金
个人账户养老金=个人账户储存额÷计发月数
基础养老金=（全省上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资）÷2×缴费年限×1%
本人指数化月平均缴费工资=全省上年度在岗职工月平均工资×本人平均缴费指数
假若某人自2000年起从30岁开始交养老保险，其到55岁退休时的养老金替代率，应用MAPLE软件并计算结果如下：
类似的可得到剩余的养老金替代率，如表
4.4
|
退休年龄
开始缴费年龄
|
55
|
60
|
65
|
|
30
|
32.8%
|
40.6%
|
50.2%
|
|
40
|
21.1%
|
23.3%
|
27.8%
|
表4.4 养老金替代率
4.3 问题三模型建立与求解
养老保险基金缺口是指养老保险基金入不敷出时出现的收支之差，本题结合问题二结论同时利用MAPLE软件对养老保险基金缺口进行建模运算，得如下模型及结果。
当该职工缴费到55岁时有：
领取的养老保险基金额为
养老保险资金缺口为
f-t=
同样可得到60岁和65岁的养老保险基金缺口。如下表4.5：
|
退休年龄
|
55
|
60
|
65
|
|
基金缺口
|
924288.9
|
813822.4
|
446565.1
|
表4.5
又当退休年龄为55岁时，根据资金缺口情况及下列式子：
得到当时序为55即该职工领取养老金到62岁时其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。
同样地当退休年龄分别为60、65时及式子：
从而得到退休年龄为60岁时领取养老金到67岁时达到收支平衡，退休年龄为65岁时领取养老金到71岁时达到收支平衡。如下表4.6：
|
退休年龄（岁）
|
55
|
60
|
65
|
|
收支平衡年龄（岁）
|
62
|
67
|
71
|
表4.6
4.4 问题四的分析及建议
养老金替代率是影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素。我国对未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%。替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。
通过问题二对山东省某企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险时的替代率进行定量比较发现，30岁开始缴养老保险比40岁开始缴养老保险所得到的替代率较高且更为接近目标替代率，由此发现让职工提早缴养老保险有利于提高起退休后生活水准，而且更易达到目标替代率。
由问题二知道养老金的替代率呈下降趋势，表明高收入者养老金的替代率低于低收入者养老金的替代率，这体现了养老保险的互助共济的功能。而推迟退休年龄可以减轻老年人口养老压力，在人口预测寿命增加，而退休年龄维持不变的情况下，意味着老年人口被赡养的时间延长，劳动力人口的负担会增大，推迟退休年龄使得被赡养的相对时间缩短，劳动力人口的负担相对减轻。
通过问题三山东省某企业自2000年起从30岁开始缴养老保险，分别缴到55岁，60岁，65岁退休，从退休后一直领取养老金，至75岁死亡的缺口情况比较发现，退休的越晚缺口越小。
通过如上分析并结合我国现状，为达到目标替代率的同时维持养老保险基金收支平衡，我们认为我国应采取如下措施。
一、提倡企业从职工一入职就开始缴养老保险，这样有利于达到目标替代率。
二、随着人们生活水平及医疗条件的提高，我国人均寿命逐步提高到70岁左右，我国已逐步进入老龄化社会，为使养老基金缺口缩小，使养老保险基金达到收支平衡，我国应推迟法定退休年龄，不断完善退休制度【2】。
1.
由于部分早退职工认为当前的政策较好，对未来的形势、政策没有信心，所以选择提前退休获得一个稳定的养老收入。因此社会保障部门要树立一个良好的公众形象，努力取得社会的信任和认同。另外由于我国地域辽阔，各地区经济发展不平衡，所以不适合实行统一的退休年龄制度，采取弹性退休方式，可以最大限度发挥人力资本的作用，有助于缓解劳动力市场的供求压力。
2.
企业应该正视老员工的重要作用。老员工的工作状况不仅可以给新员工树立榜样，起到模范作用，还能激励新员工更加努力工作，对自己的职业生涯有充分的信心。另外，现代养老制度向多支柱养老体系发展，职工退休年龄越大，养老金的替代率越高，企业年金所占的比例就会有所下降，这样从长远来看也能减轻企业的负担。
在一定假设条件下，按照目前的制度模式,在一定时期内使生育率迅速下降，这样少儿与老年抚养负担均相对较轻，总人口中劳动适龄人口比重的上升，在老年人口比例达到较高水平之前，形成一个劳动力资源相对比较丰富，是对经济发展十分有利的黄金时期，这可以缓解基金缺口的快速扩大。
在此基础上，还要探讨养老保险制度可持续性发展的具体对策，以缓解基金缺口的紧迫需要。结合城镇从业人员和实际参加养老保险制度人数的实际状况、制度赡养率以及自我负担系数的变化趋势来看，养老保险制度的可持续发展面临着严峻的挑战。
当前最为紧迫的任务是，按照基金收支的平衡要求，采取措施大力调整影响制度可持续运行的相关变量，增加养老基金收入调整基金支出，最大可能地缩小基金缺口，减轻财政养老社会保险基金的压力。
五、模型评价
模型的优点是对原始数据的拟合时，采用了多种方法进行，并采用误差分析使之愈来愈完善，具有很高的拟合度和适合度，对模型进一步讨论便可得到一系列可靠而实用的信息，并且所得结论与客观事实很好的吻合，所以模型是合理的。
此模型没有充分考虑到影响每年年工资变化的因素，只从拟合出的图像预测得到，缺乏全面性。
由于积累的个人帐户由于要求收支平衡的期间过长，容易受到通货膨胀的严重影响，一旦遇到大的经济危机和金融危机，养老金个人帐户的贬值风险无法抵御；而且，单纯以个人交纳的保险费数额来决定养老金给付数额的模式下，社会的低收入者或负担重的劳动者往往难以通过自身预提积累的保险金满足维持退休后最基本生活水平的需求。这些因素都是我们在模型中所没有体现的。
参考文献
【1】 严喜祖，宋中民，毕春加，数学建模及其实验，北京：科学出版社， 2009，224-226.
【2】孟庆伟，王旭，基于养老金替代的退休年龄分析，改革探索，2009（3），10-11,2009.
